面向学习者的机器人避障案例教学设计

摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题进行了改

编，并从实际情况出发进行图形数据处理、模型建立、模型求解。

关键词：最短路径 matlab 线圆模型 动态规划

1 机器人避障问题转化为数学问题

2012年全国大学生数学建模竞赛D题为一道机器人避障问题，即要求机器人在给定区域内成功绕过障碍物并到达目标点。这道题目考查了大学生的综合分析能力和解决问题的能力，要求其灵活运用数学知识解决现实生活中的具体问题。本文试图通过建立数学模型的方式分析和解决这一问题。首先，我们先设计一张平面场景示意图，规定其为机器人的限定活动区域。其中，场景图的规格为800×800，设机器人的起点为原点，即（0，0）。假设我们在12个形状不同的区域内设置了障碍物。机器人在活动时不得与障碍物发生碰撞，否则将无法正常行走。为进一步明确机器人的行走状况和障碍物的分布特征，我们制作了表格。（表1）

求解问题一：以下给出了O到各目标点的可能路径的最短路径：

①如图5，解决的就是O到目标点A的最短路径问题，共有两种路径走法。线路（1）走法的路径长度为471.0327；线路（2）走法的路径长度为490.8325。所以OA的最短路径走法为路线（1），路径为471.0327。

②如图6，图中给出了四条可能的最短避障路径。我们可以一一计算，并进行对比，最终得到O到B的最优路径。线路（1）的路径为824.6960。线路（2）的路径为852.7。线路（3）的路径为945.3287。线路（4）的路径为1050.2591。所以线路（1）为OB的最短路径，OB路径为824.6960。

③如图7，图中给出了O到C的四条可能最短路径，取最小结果路径为最优路径。计算线路（1）和线路（2）时由于有特殊的圆形障碍物所以建立了线圆结构模型五，结合模型一二三四可以求出各个路径的长度。由计算结果可知道：路线（1）的路径为1035.1；路线（2）的路径为1026.33；路线（3）结合模型一二三可以求得的路径为1090.1352；路线（4）结合模型一二三四可以求得路径为1073.5。所以OC的最短路径为线路（2）：1026.33。

④对于问题OABCO路径的求解我们采用模型六的方法给出了两种可能的最短路径。

结合上述几个模型可得出：线路（1）的路径长度为2620.5；线路（2）的路径长度为2714.5，所以OABCO的最短路径为线路（1）所求长度为2620.5。

求解问题二：我们首先可知，当弧度越大时其速度就越快，但是当弧度大到一定范围时总长度L就会越长，此时就会影响最短时间。设O1（x，y）半径为R，因为我们假设最小危险距离为10，所以我们先设OO1=a、O1A=b、OA=c、∠OO1A=j1、∠OO1E=j2、∠AO1F=j3、∠EO1F=j4所以可知圆O1与外面一个小危险区域组成的圆记作O2相内切。并且为保证总长度L最短得出：最短时间 Tmin=94.2285。

参考文献：

[1]谭永基.数学模型[M].上海：复旦大学出版社，2011.

[2]汪子莲.机器人避障模型 [J].兰州工业学院学报，2014（01）.

[3]顾幸方，陈晋音.移动机器人未知环境避障研究[J].传感器与微系统，2011（05）.

作者简介：

陈杨林（1974-），男，江西九江人，研究生，教师，研究方向：应用数学。