例谈中学数学中的最值问题

苏金阳

【摘要】在中学数学的学习中，常遇到有关求最值的问题，在大多数情况下，这类问题可以归结为几种常见求最值的方法----映射与反演、几何性质、函数、均值不等式。由于这类问题涉及的知识面广，综合性强，解题方法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有极为重要的作用，现举例说明最值问题的常见类型及常用解法共同探讨。

【关键词】求最值 数学能力 常用方法 映射与反演 几何性质 函数 均值不等式

引言：在中学数学中，最值问题一直以来都是一个比较重要的问题。不仅涉及到一些著名的数学问题，还广泛应用于现实生活中。因此处理好最值问题对于研究其它问题有很大的帮助。那么怎样来处理最值问题呢？

徐治利先生曾说过：“如果谁能对于一些重要的关系结构巧妙地引进非常游泳且具有可行性反演 的可定映射 ，就能作出比较重要的贡献。”

在此主要谈谈如何利用“映射反演”的方法来处理中学数学中一些常见的最值问题。所谓的“映射”作为广义讲，就是指实现化难为易的某种对应方法或变换手段；而“反演”就是把变换后求得的解答再转换为原来问题要求的解答。

中学数学中的最值问题一般常见的可分为三类：

（一）与函数直接相关的。常见的有二次函数、三角函数求最值的问题。对于一些比较常见的一般来说都可以用下列方法解决：利用函数单调性、判别式法、换元法及导数极值的应用。

例1：求 在R上的最值。

法一：利用函数单调性，易知函数在 为增函数，在 为减函数，所以函数只有最大值既 时 ；

法二：利用判别式法，把y看成常数既方程 在R上有解即 ；

法三：利用导数求极值，易知函数在R上是连续的。即极值点为 为极值点，又 则 在 取得最大值。

对于一些比较简单的最值问题，以上的方法一般来说都可以解决，而且做法也比较简单。但对于一些比较复杂的问题就比较困难，这时候如果采取“映射反演”的方法把这些问题转化为上述比较简单的问题或一些比较简单的做法，做起来会事半功倍的。

例2：

以上的问题对于这一类型最值问题主要的方法在于寻求一个数学模型，然后把相应的最值问题进行变形，变形为简单常见的求函数最值情形。

（二）均值不等式的应用。对于均值不等式类型的最值问题一般来说主要把对应的最值问题转化为均值不等式的模型。

对于例5来说直接做比较困难，对于 三项之和虽然为定值但是等号取不到也就是说按照这种构造行不通。对于这个问题如果把这个式子两边同时平方，这时候 三项之和为定值，且等号能取到。由此对于一般的均值不等式的如果能够转化为上述模型解决起来会事半功倍。

（三）一些重要的几何性质的应用：利用映射与反演把一些比较复杂的有关几何的最值问题转化为一些比较简单的几何问题。如：三点共线、两点间线段最短、对成问题等等。

例4：立体几何问题 平面几何问题

（1） （2）

图1-1

从图1-1可以看出圆台侧面与扇环 的点与点之间存在一一对应关系。圆台侧面上最短的细绳即为扇环内 的长度。因此对于立体几何的问题如果能转化为平面几何问题，此时对应的问

题会更简单更易于入手。除了立体几何与平面几何的转换外，又如：

两线段的和最小的问题 点与点的共线与对称问题

例5：

由此可见对于中学数学中的最值问题，如果能利用映射与反演的方法来做，往往都会使问题简单化、明了化，更易于入手。但并不是所有的最值问题都可以按照这种方法来做。要应用映射与反演原则来解题一般要考虑以下几点：

1、能否在同一关系结构中构造出该问题的模型；

2、能否用另一知识、知识系统中的语言来改述与解决这个问题；

3、能否用特殊的技巧将题设或结论变形，从而找到某种对应手段，把问题映射到其他领域中去解决，然后再反演回原来的系统得出结果。

【参考文献】

[1]《数学教学中培养中学生阅读能力的实验与思考》许世红 罗华《数学教育学报》2001.2第10卷底1期

[2]《身边的数学》梁智勇 黄孟宜 潘欣等《中学生数学》2000.7

[3]《数学步步高同步学案》王朝银2010.5