能力提升综合测试之带电粒子在电场，磁场中的运动

彭长礼

1.如图1所示，绝缘的水平桌面上方有一竖直方向的矩形区域，该区域是由三个边长均为l的正方形区域ABFE、BCGF和CDHG首尾相接组成的，且矩形的下边EH与桌面相接。三个正方形区域中分别存在方向为竖直向下、竖直向上、竖直向上的匀强电场，其场强大小之比为1：1：2。现有一带正电的滑块以某一初速度从E点射入场区，初速度方向水平向右，滑块最终恰从D点射出场区。已知滑块在ABFE区域中所受静电力和重力大小相等，桌面与滑块间的动摩擦因数为0.125，重力加速度为g，滑块可以被视为质点，求：

（1）滑块进入CDHG区域时的速度大小；

（2）滑块在ADHE区域运动的总时间。

2.如图2所示，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面），0为圆心。在柱形区域内加一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿图中直径方向从圆上的A点射人柱形区域，在圆上的D点离开该区域，已知图中θ=120°。现将磁场换为竖直向下的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直径方向从A点射人柱形区域，也在D点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，试求：

（1）电场强度E的大小；

（2）粒子经磁场从A点到D点的时间与经电场从A点到D点的时间之比。

3.如图3所示，在光滑绝缘水平面上放置一带正电的长直细棒，其周围产生垂直于带电细棒的辐射状电场，场强大小E与距细棒的垂直距离，，成反比，即E=鱼。在细棒右侧，有一长为l的绝缘细线连接了两个质量均为m的带电小球A和B，小球A、B所带电荷量分别为+q和+4q，小球A距细棒的距离也为l，两小球在外力F=2mg的作用下处于静止状态。不计两小球之间的静电力作用。

（1）求k的值；

（2）若撤去外力F，求在撤去外力瞬时小球A、B的加速度和小球A、B间绝缘细线的拉力。

4.如图4所示，一个质量为m，带电荷量为+q的粒子在BC边上的M点以速度口垂直于BC边飞人正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM=CN）垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求： （1）粒子在磁场里运动的轨道半径r及周期T； （2）该粒子在磁场里运动的时间￡； （3）该正三角形区域磁场的最小边长。

5.如图5所示，管长为l的竖直光滑绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一小球，直径比管的内径略小，小球质量m=0.2g，电荷量q=+8×l0^-5C，在边界PQ右侧，管口所在水平面ab的F方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B¹=15T的匀强磁场，ab面的上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度B²=15T的匀强磁场，整个区域还存在着竖直向上、场强E=25V/m的匀强电场。现让小车始终保持v=2m/s的速度匀速向右运动，一段时间后，小球运动到管口，此时测得小球对管侧壁的弹力N=2.4×10^-3N。取g=10m/s²，不计空气阻力。求：

（1）小球刚进入磁场B₁时的加速度大小a；

（2）绝缘管的长度l；

（3）小球离开管后每次经过水平面ab时小球距管口的距离△x。

6.如图6，在矩形ABCD内对角线BD以上的区域存在有平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在有垂直于纸面的匀强磁场（图中未标出），矩形的AD边长为l，AB边长为 。一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子（不计重力）以初速度vo从A点沿AB方向进入电场，在对角线BD的中点P处进入磁场，并从DC边上的Q点垂直于DC离开磁场，试求：

（1）电场强度的大小；

（2）带电粒子经过P点时速度的大小和方向；

（3）磁场的磁感应强度的大小和方向。

7.在xOy平面内，直线OM与x轴负方向成45。角，以OM为边界的匀强电场和匀强磁场如图7所示，在坐标原点0有一不计重力的粒子，其质量和电总路程。

8.如图8所示，平行金属板右侧有一宽度为a的匀强磁场区域I，磁感应强度为B，方向垂直Ⅱ，磁感应强度大小也为B，方向垂直纸面向外。现在平行金属板的正极板处有一带正电的粒子（粒子重力不计），质量为m、电荷量为q，由静止开始经电场加速后，经负极板狭缝沿z轴方向进入磁场。

（1）当加速电压U=U⁰时，带电粒子恰好可以到达磁场区域I、Ⅱ的交界处，求加速电压U⁰；

（2）当加速电压U=2U⁰时，带电粒子进入磁场后经过时间t第一次到达距z轴最远处，求运动时间t。

参考答案与提示

1.设三个区域的电场强度大小依次为E、E和2E，滑块在三个区域运动的时间分别为t¹、t²和t³。（1）在CDHG区域，对滑块进行受力分析，由牛顿第二定律得2qE-mg=ma³，由题意知qE=mg，在水平方向和竖直方向上分别有 ，解得 。（2）在BCGF区域，对滑块进行受力分析，在竖直方向上有qE=mg，所以滑块不受摩擦力，做匀速直线运动， 。在ABFG区域，对滑块进行受力分析，在竖直方向上有N=qE+mg，在水平方向上有 解得 当滑块由E点运动到F点时，由运动学公式得 ，解得 。由 ，解得 。所以总时间

。

2.（1）如图9所示，加磁场时，粒子从A点到D点，有 ，由几何关系得 。加电场时，粒子从A点到D点，有 ，解得 粒子在磁场中运动，由几何关系可知，圆心角 ，运动周期 ，运动时间 。粒子在电场中的运动时间 因此 。

3.（1）由小球A、B及细线组成的整体受力平衡，得 ，解得 。（2）若撤去外力瞬时，小球A、B间细线的拉力突然变为零，则对小球A有 ，解得 ，方向向右；对小球B有 ，解得 ，方向向右。因为以 所以在撤去外力瞬时，绝缘细线立刻张紧，使得小球A、B以相同的加速度a-起向右运动，设细线的拉力为T。则对由小球A、B组成的整体，由牛顿第二定律得 ，解得 ；对小球A有 ，解得 。因此在撤去外力瞬时，小球A、B的加速度 ，小球A、B间细线的拉力 。 4.（1）由 和 ，解得 。（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点做圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图10作出圆O，粒子的运动轨迹为弧GDEF，圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与出射速度相切。画出三角形abc，其与圆弧在D、E两点相切，并与圆O交于F、G两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识知∠FOG=60°，所以粒子偏转的圆心角为300°，运动

太空电梯这个概念最早来自100年前，著名的火箭科学先驱者齐奥尔科夫斯基设想了一个建立在巨塔顶端的“天空城堡”。的时间 。（3）连接a0并延长与bc交于H点，由图知 ，所以

5.（1）以小球为研究对象，在竖直方向上受重力、静电力和恒定的洛伦兹力，则 ，解得 。（2）小球在管中时沿竖直方向做匀加速直线运动，当小球运动到管口时有N-2.4×10^-3N，设V₁为小球的竖直分速度，在水平方向上 ，解得 ，在竖直方向上有 ，解得 （3）小球离开管口进入电场和磁场的共存域，其中qE=mg=2×10^-3N，即静电力与重力平衡，小球做匀速圆周运动，合速度 与水平面ab成45。角，轨道半径为R，如图11所示， ，解得 。从小球离开管口开始计时，到再次经过水

图11平面ab所通过的水平距离 ，对应时间 ，时间t内小车运动的距离 。因此 。

6.（1）带电粒子受静电力作用做类平抛运动，则 ，解得 。（2）带电粒子在竖直方向上做匀变速运动，设粒子到P点时在y轴方向上的分速度为 ，则2a. ，解得 ，合速度 ，速度与水平方向间的夹角 满足 。（3）如图12所示，BD与水平方向间的夹角满足 ，则 ，即 上BD，因此粒子在磁场中运动轨迹的圆心就在D点， ，由

，解得 ，方向垂直纸面向外。

7.（1）如图13所示，粒子进入磁场，根据左手定则知，粒子做 圆周的圆周运动后经过OM，根据洛伦兹力提供向心力得qv。 ，解得R=lm，故粒子第一次经过OM时的坐标为（-1m，1m）。（2）粒子第二次进入磁场时，速度大小不变，则粒子在磁场中运动的半径也为R，第二次进入电场时到z轴的高度为2R。根据动能定理得 ，故粒子第二次到达x轴时的动能 。

（3）因为粒子第二次进入电场后做类平抛运动，所以第二次到达x轴时的水平分速度为 在竖直方向上有 解得 。从类平抛开始，粒子第一次到达最高点离x轴的竖直高度 ，第二次到达最高点离z轴的竖直高度 第，z次到达最高点离x轴的竖直高度 。因此粒子在电场中运动在竖直方向上通过的总路程 。

8.（1）设粒子进入磁场时的速度为v，当粒子在磁场中的圆周运动半径为a时，恰好可以到达磁场区域工、Ⅱ的交界处，则 ，解得 。（2）带电粒子在磁场中的运动轨迹如图14，C、C'为圆心。当U=2U₀时，设粒子的轨道半径为R，由（1）中的比例关系知 ，解得 。因此由几何知识得粒子运动轨迹对应的圆心角之和 ，又有粒子的运动周期 ，所以 。