关于直线与圆锥曲线的位置关系之探讨

崔兴清

摘 要：直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考的重点、难点，当然也是热点问题，其经常扮演着“把关题”的角色，是区分学生数学学习水平的关键性题目。以“直线和圆锥曲线的位置关系”为研究重点，分析了有关此重点的理论知识，随之利用各种数学实例具体探讨了直线与圆锥曲线的位置关系，帮助学生真正领悟“学以致用”的道理。

关键词：直线；圆锥曲线；基础理论；位置关系

从某种层面来看，直线与圆锥曲线位置关系的问题，汇集了高中阶段整个解析几何与圆锥曲线的知识点，而且还涉及函数、方程及方程组、不等式、平面几何、三角形等诸多内容，并形成轨迹、参数、数值等一大堆数学问题。由此可见，此类知识点确实具有超强的综合性，而且对学生的学习能力要求颇高，所以高中老师在讲授此知识点时，应该格外注意的好。

一、概述与直线和圆锥曲线相关的数学基础理论

1.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看，可以分成三种，分别是：无公共点，仅有一个公共点及两个相异公共点，意思就是：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲線只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。从另一种层面来看，直线与圆锥曲线的位置关系又可以分为三种，即相交、相切、相离。后面这种说法的提出，常用代数方法即解方程组来计算，原因在于方程组解的个数与两线交点直接代表了两线之间的位置关系，而且计算起来相对简单一些，因此在直线与圆锥曲线位置关系的问题上常采纳后者的代数方法。

2.以上所提三种关系的判断条件

如果a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合。

3.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

二、利用具体教学实例巩固学生的知识掌握能力

本题主要考查了直线与圆锥曲线相交这一知识点问题，从题目中“椭圆C上有两个不同的点”便可得出Δ>0的结论，又因为两个交点关于直线l对称，因此可以轻松列出方程组，从而求得m的范围。在此题目中，学生一定要找出题目中的隐含条件，避免陷入解题的尴尬境地。

三、课后及时归纳总结与反思

1.总结直线与圆锥曲线的位置关系的误区

关于直线与圆锥曲线的位置关系这一知识点内容，由于直线和圆锥曲线具有三种位置关系，而这三种位置关系却因为三类曲线而各自存在特殊性，这就导致它们的相交状况也不相同，因此容易走进一些解题误区。常见的解题误区有四种：一是忽略题目中所要求的隐含条件，二是忽略直线与双曲线的特殊位置关系，三是忽略直线与抛物线特殊的位置关系，四是忽视直线与圆锥曲线相交的前提条件。因此，在老师授课以及解析题目的过程中，务必要解释清楚一些模棱两可的问题，以免学生陷入解题误区。

2.归纳解题过程中所用的定理和思维方法

直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设。与此同时，直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。

3.改进并完善课堂教学方法以及作业布置

现下，新课标明确提出老师应该给予学生充分的参与教学活动的机会，应该视学生为课堂主体，挖掘他们自主学习能力。因此，老师需要改进并完善课堂教学方法，可以尝试采用学案教学、师生互动探究以及小组讨论学习的方法，让学生亲身去发现问题、解决问题。与此同时，老师在练习作业的设置上，最好具有一定的针对性、灵活性，真正实现巩固学生所学的目的。

总的来说，关于直线与圆锥曲线的位置关系这一知识点，不管在老师教学还是学生的学习方面，都具有一定的难度，以上即为笔者简单的阐释和举例说明，希望起到抛砖引玉的作用。当然，与直线与圆锥曲线的位置关系相关的实例不止以上几种，掌握好这些实例对学生领悟解析几何的思想方法，提高学生对解析几何的解题能力是大有裨益的。

参考文献：

[1]王鑫.直线与圆锥曲线的位置关系：交点个数问题[J].学周刊，2012（3）.

[2]武晓梅.直线与圆锥曲线的位置关系[J].新课程：下，2014（6）.

[3]代昆鹏.直线与圆锥曲线的位置关系的研究[J].考试周刊，2011（15）.

[4]李瑞雪.直线与一般圆锥曲线位置关系的判定[J].数学学习与研究，2013（21）.

编辑 谢尾合