《九章算术》中的二元一次方方程组

王慧

大自然充满了未知，但人类用智慧架起了一座座从已知通向未知的桥粱，构筑了灿烂的科学文化.线性方程组及其求解，就是桥梁之一.

代数学发展的一个主要方向就是方程理论.自埃及祭司阿莫斯用象形文字写下史上第一个一元一次方程后，相关理论研究逐渐向两个方向延伸：增大未知数的次数，衍生出一元高次方程理论：增加未知项的个数，创造了线性方程组理论.值得骄傲的是，早在《九章算术》成书时代，中国古人已对较为复杂的线性方程组问题展开了研究，而西方的相关研究直至17世纪尚处于初级阶段.

1.中国古代的线性方程组，

同学们从教科书上学到的“方程”术语源于英文Equation之翻译（清代数学家李善兰首泽），然而中国古代数学中的“方程”并非现代“含有未知数的等式”之含义，据成书早于《九章算术》的江陵张家山竹简《算数书》记载，“方程”是由“程禾”算法发展而来的.“程禾”就是考核粮食作物的产量.在《九章算术》的“方程”章中，其前六题皆是测算粮食产量问题，如第一题：

今有上禾（上等稻）三秉（捆），中禾二秉，下禾一秉，实（谷子）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，上、中、下禾一秉各几何？

刘徽在《九章算术》“方程”章开篇对“方程”诠释道：

程，课程也.群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.

其中“数”乃群物之数，即诸未知项的系数，“实”相当于常数项，“总”则暗示了等量关系，因而“方程”的每行都可以看作一个多元一次方程，“方程”各行联立起来就组成了一个线性方程组.因此，中国古代的“方程”就是现在的线性方程组.

其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多（598-660）的著作《婆罗摩修正体系》之中，而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢（1485-1572）.

2.《九章算术》中的二元一次方程组.

《九章算术》“方程”章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8道题，其中一题就是典型的二元一次方程组：

今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.上、下禾实一秉各几何？ 这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对具有相反意义的概念.同时在“术”中还给出移项的概念.

在《九章算术》中，多是采用分离系数法表示线性方程组，这相当于现在的矩阵表示（线性方程组系数用数表表示的形式）.而解线性方程组所使用的直除法，与矩阵初等变换一致（交换两行位置，某行乘以非零数，两行相加减）.另求解线性方程组时中国古人还运用了正负数的乘除法，这是世界数学史上的一项重大成就.尽管丢番图在《算术》中，给出题目“已知两数之和为100，之差为40，求两数”，但在西方直到17世纪才由莱布尼茨提出完整的线性方程组解法法则.

此外，我国古典数学著作《孙子算经》《张丘建算经》《数书九章》《详解九章算法》《九章算法比类大全》《算法统宗》等，也介绍了线性方程组的解法.清代数学家梅文鼎（1633-1721）的《方程论》共有90道线性方程组题，其中未知数个数最多达6，解法也多是利用加减消元法，关于著《方程论》的宗旨，梅文鼎曾给友人方中通（1633-1698）解释道：“方子精西学，愚病西儒排西算，著《方程论》，谓虽利氏无以难.”其大意是，中国古代关于线性方程组的研究成果，是西方数学难以比拟的，故我们完全不必在“西儒”面前妄自非薄.