浅析行列式

谭森

【摘要】本文主要介绍了行列式的相关知识。在理解行列式之前，首先需对排列的知识，然后从解多元一次方程组引入行列式。了解行列式的相关概念和性质以及克莱姆法则和拉普拉斯理论的应用，本文也对几种常见的特殊行列式如范德蒙德行列式作了介绍，并列举了四种题型进行求解。将行列式的知识应用到解决线性代数问题中，学会行列式的相关计算将会对矩阵及其他代数问题有很大的帮助。

【关键词】行列式;克莱姆;拉普拉斯;范德蒙德

1、准备知识

定义1 由组成的一个有序数组成为一个级排列。

定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，及前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。

定理1 对换改变排列的奇偶性。即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。

推论 在全部级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个。

定理2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作变换的个数与这个排列有相同的奇偶性。

2、行列式及相关名词的概念

2.1阶行列式

阶行列式

是所有取自不同行不同列的个元素成绩的代数和，它由项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，表示的逆序數，当是偶排列时，该项的前面带正号;当是奇排列时，该项前面带负号，表示对所有阶排列求和。

2.2余子式和代数余子式

用行或列展开公式计算行列式

其中，，

是中去掉行列元素后的阶行列式，称之为的余子式;而给余子式带有符号即，则称为的代数余子式。

3、行列式的性质

1. 经转置的行列式的值不变，即;
2. 行列式中的某一行各元素如有公因數，则可以提到行列式符号外。特别地，若行列式中某行元素全是零，则行列式的值为零;
3. 如果行列式中某行的每个元素都是两个数的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和;
4. 对换行列式中某两行的位置，行列式的值只改变正负号。特别低，如两行元素对应相等（或成比例），则行列式的值是零;
5. 把某行的倍加至另一行，行列式的值不变;
6. 行列式一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和必为零，即

;

1. 若是阶矩阵，且是矩阵的特征值，则，，;
2. 若是阶可逆矩阵，则;
3. 若都是是阶矩阵，则;
4. 若矩阵相似，则;

4、几种特殊的行列式

1. 对角形行列式：主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式
2. 级范德蒙德（Vandermonde）行列式，对任意的，级范德蒙德行列式等于这個数的所有可能的差的乘积。

1. 拉普拉斯（Laplace）展开式：设是阶矩阵，是阶矩阵，则

1. 爪型行列式，如

，对于爪型行列式把每一行的适当倍数加至第一行可以化为下三角行列式。

5、行列式在线性代数中的应用

1. 当时，齐次方程组有非零解，而此时的非齐次方程组没有唯一解（可能无解，可能有无穷多解）。而当时，由克莱姆法则，可求出的唯一解。

1. 可证明矩阵可逆，并可由伴随矩阵求出
2. 对个维向量可通过计算行列式是否为零来判断它们是否线性相关或线性无关
3. 矩阵的秩是用中非零子式的最高阶数来定义的
4. 求矩阵的特征值，其中一个重要方法是通过计算
5. 判断二次型的正定性，可用顺序主子式全大于零。

参考文献：

[1]《高等代数》[M]王萼芳，石生明 高等教育出版社