对圆锥曲线第二定义的再探究

暨新明

在平面直角坐标系中，点P（x，y）为动点，已知点A2，0，B-2，0，直线PA与PB的斜率之积为-12.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合），求证：直线MQ过x轴上一定点.

答案：（1）x22+y2=1；（2）通过证明得到定点为2，0.

我们发现第（2）问中，求出的定点2，0为椭圆x22+y2=1的准线x=2与x轴的交点.

对于一般的圆、椭圆、双曲线、抛物线是否有类似结论？是否需要满足什么特殊的条件？能否抽象概括出圆锥曲线的一个通性呢？如果是这样的话，则问题就有了研究的价值.为了增加问题研究的可行性，避免劳而无功，笔者先用几何画板对抛物线、椭圆、双曲线分别进行验证，其结果都是成立的.笔者在问题的驱动下马上拿出笔和草稿纸进行运算推理，最终证明上述猜想是正确的，现将主要结论和证明整理成文与大家分享.

推广1：已知圆x2+y2=R2R>0，过圆内点A（m，0）任作一直线l交椭圆于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合），则直线MQ过x轴上一定点R2m，0.

证明：与椭圆的证明一致，见椭圆证明.