平面向量的数量积的应用研究

何政国等

【摘要】向量是解决数学问题的一种重要工具.向量的引入和使用，帮助学生提高了对数学知识的纵横联系的认识，拓宽了学生解决问题的思路，对问题的研究和解决更加方便和完善.向量的数量积是向量的一个知识点，它在中学数学中有着广泛的应用.向量数量积的应用不仅可以帮助学生解决数学中的几何问题，还可以帮助学生发展扩散性思维和创新精神.

【关键词】平面向量；数量积；应用

一、平面向量数量积的重点、难点

重点：1.理解并掌握平面向量的数量积的定义和几何意义；2.了解平面向量数量积和向量投影之间的关系；3.能够运用向量数量积求两个向量的夹角；4.能够用向量数量积判断平面向量间的垂直关系；5.会用向量方法解决一些简单的几何问题以及其他一些实际问题.难点：1.平面向量的数量积的定义和几何意义；2.平面向量的数量积的运算律；3.平面向量数量积的应用.

二、平面向量数量积求解方法

在向量的数量积基本运算中，经常用到数量积的定义、向量的模、向量间的夹角等公式，尤其要重视|a|=a·a，这是求距离的常用公式.必须理解数量积的含义和几何意义，向量模的运算.当有平面向量的数量积与向量垂直问题时，学生可以利用两向量之间的垂直关系利用其数量积为零进行列方程求解，求出方程中的参数值.在计算数量积时还要注意对求解方法的选择，对不同的题选择适当的方法.在计算数量积时学生可根据题意选择以下两种方法：一是将向量运算转化为坐标运算，二是根据数量积的运算法则进行基本的数量积运算.

平面向量的数量积的应用是个难点，想要学好向量的数量积应用，关键是要充分掌握基础知识，理解把握平面向量和相关基础知识.还要在学习中不断地进行总结，包括定义法、几何意义、坐标法、向量代换法、构造数量积等常规方法.养成善于思考的习惯，打开思维，不断地创新，这样才能提高解决综合问题的能力，以及锻炼自己的创新思维和发散性思维，提高自己的能力.

三、例题分析运用向量数量积求解两向量的垂直、夹角关系

1.判断两向量垂直.

四、小结

因平面向量的数量积常与三角函数、函数、三角形以及其他几何图形结合在一起，进行综合知识的考查，因此数量积的应用是中学数学的一个难点.而数量积的应用与传统的解题方法相比较，其方式更具有创造性，使解题变得更加程序化、模式化，解题过程也变得简单易懂，在提高学生解题能力的同时更激发了学生的创造性思维.

【参考文献】

[1]沈世金.平面向量的数量积的应用[J].中学课程辅导：高考版，2012（11）：34-35.

[2]史建军.平面向量的数量积在中学数学解题中的妙用[J].数学教学研究，2007（9）：25-26.

[3]房国新.向量数量积在解题中的应用[J].中学课程辅导：高考版，2011（11）：28-29.