从问题中发现规律在求解中探究结论

谭玉宝

教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、探索者.”这就是说，在教学过程中，教师应适当创设一些情境，让学生自己去发现和探究，自己发现某些概念、某些规律，探究某些结论，这样可以使学生对概念的理解更深刻，知识的掌握更牢固，学生能从中体验到成功的感觉，从而激发学习的积极性.下面是笔者在“导数应用”这一节的教学实践中，引导学生发现和探究双曲线切线几个性质的过程.

1.创设情境，发现规律

例求过点P（2，0），曲线y=1x的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

解设切点为Q（x0，y0）（x0≠0），则切线的斜率k=kPQ=1x0（x0-2），又由导数的几何意义，曲线在切点Q（x0，y0）处的切线的斜率k=y′|x=x0=-1x20，于是有1x0（x0-2）=-1x20，∴x0=1，k=-1.

∴过点P的切线l的方程为：y=-x+2，它与两坐标轴分别交于P（2，0）和B（0，2）.

故切线与坐标轴围成三角形的面积为S=2.

设计意图：让学生明确导数的几何意义，掌握过一点的曲线的切线的求法，并在此基础上提出变式1，让学生从中发现问题，展开从特殊双曲线到一般双曲线的切线的探究.

变式1：求过点P（t，0）（t≠0），曲线C：y=1x的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

仿照上面的方法，同学们迅速得到切点Qt2，2t，切线斜率k=-4t2，切线方程：y=-4t2（x-t），切线分别交坐标轴于P（t，0），B0，4t，切线与坐标轴围成三角形的面积S=12t4t=2.

2.以静制动，提示规律

变式2：求曲线D：y=mx（m≠0）在P（x0，y0）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

生：曲线y=mx（m≠0）在P（x0，y0）处的切线方程为y0x+x0y-2m=0，与坐标轴交点分别为2my0，0，0，2mx0，于是切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=122my0·2mx0=2m.

师：双曲线D的任何一条切线与两坐标轴围成的三角形面积也是一个常数，这个常数是不是生2同学所说的实半轴长的平方？

生4：当m>0时，求得双曲线y=mx（m≠0）与对称轴y=x的交点（即顶点），从而求得实轴长为2a=22m；当m<0时，求得双曲线y=mx（m≠0）与对称轴y=-x的交点（即顶点），从而求得实轴长为2a=2-2m.于是可知，上面的常数为实半轴长的平方.

师：曲线D是等轴双曲线，两坐标轴是它的渐近线.上面的探索即为：“等轴双曲线上任意一点的切线与两渐近线围成的三角形面积等于实半轴长的平方.”那么，对更一般的双曲线，你能作出什么样的猜想？

3.合理猜想，证明猜想

生5：双曲线上任意一点P处的切线与两条渐近线围成三角形的面积等于实半轴长与虚半轴长之积.

4.反思总结，拓展提升

通过上面的探索，我们得到双曲线切线的一个性质：

性质：双曲线上任意一点P处的切线与两条渐近线围成三角形的面积等于实半轴长与虚半轴长之积.

同时，从性质1的探求过程中还得到了一个“副产品”，即双曲线x2a2-y2b2=1，（a>0，b>0）上任意一点P（x0，y0）处的切线方程①.那么，双曲线的动切线还有没有其他性质呢？留着大家去探究.