学生学习数学概念的层次分析

严文军

【摘要】在学生对于数学概念进行学习的过程当中，往往要经过实际操作活动和对于过程的理解，从而形成数学对象，最终建立起数学概念的综合心理图式.本文立足于这一领域展开讨论，并结合当前数学教学现状作出层次分析，希望能够对于数学教学有所助益.

【关键词】数学概念；层次分析；综合心理图式

在数学教学活动当中，概念教学始终是一个极为重要的组成部分，一直以来，关于这一领域的研究都只是在逻辑层面上进行研究，其不仅涉及关于教材的编写，也与课堂教学、理论阐述相关联.

一、数学概念教学的现状分析

我们的数学概念教学通常采用的方式可以分为两种，一种是概念形式，另一种则是概念同化.在实际的课堂教学活动当中，绝大多数数学教师采用的方式是后一种，也就是说将概念的本质属性展现在学生面前，并罗列出来定义、名称和符号，进而揭示其内涵和外延.对于这样一种教学方式，其最为显著的特征就是简单明了，通过有效的方式使学生能够明白学习的概念，因而这也被称作是学生获得概念的最为基本的方式.

但是，关于概念同化教学方式，只是建立在一般的学习理论之上，并且较为偏重的是概念的逻辑结构教学，从而忽视了数学概念本身的重要含义.就此而言，数据概念本身具有一定的过程，不仅是逻辑分析的对象，也是具有现实背景和丰富寓意的教学过程.基于此，务必要做到返璞归真，将数学概念的形成过程展现在学生面前，从而使其能够对于各项要素的多样化运用有一个全面的了解，这也在很大程度上符合学生主动建构的学习原理.

二、数学概念学习的错误分析

从以往的大量实践经验当中能够看到，在关于数学概念的学习当中，学生之所以会出现大量的错误，主要原因就在于，在概念形成的过程当中，各个阶段和各个层次都有可能带来错误概念的产生，因此可以称其为“过程性错误”.

1.概念意向形成中的错误

在数学概念的形成和理解过程当中，数学概念意象始终发挥着不容忽视的重要作用，可以说，其是构成数学概念不可或缺的一个组成部分.学生在记忆和运用数学概念的过程当中，大多是将其与概念意象紧密联系在一起，而概念意向和概念定义之间不仅存在着联系，也是有一定区别的，前者主要特征是直观性、主动性和模糊性，因此，概念意象的贫乏或者不恰当，很容易就会带来错误概念的产生，而用意象去代替概念也会带来诸多的错误.譬如说，很多数学概念都是在日常生活的概念当中抽象发展而来的，而正是因为日常概念存在着较为宽泛的特征，多以才会对于学生的抽象概念理解存在偏差，在学习“垂直”相关概念的时候，学生往往会受到日常生活的影响，因而会将地平面作为参照来进行“垂直”概念的理解，以此来代替“互相垂直”的概念.

2.概念联系中的错误分析

对于概念之间的联系始终贯穿于数学概念的学习过程当中，要逐步形成数学概念，从而建立起来与其相关联的概念，这种概念主要包括上位、下位以及并列.对于数学概念本身来说，其性质是知识节点，为了能够更好地形成知识网络，也需要在其中建立相应的联系加以说明.由于联系的对象和方式之间存在着较为明显的不同，并且联系的强弱程度和数量也存在着差异，所以产生的错误的形式也是存在着差别的.譬如说，我们经常会看到概念联系呈现出僵化的错误，主要表现就是学生学习数学概念的时候，并不能够主动地去建立概念内部以及概念之间的联系，而是单纯地凭借着记忆来进行表达，或者利用语言来进行表达，在这种情况之下，其所掌握的概念是较为孤立的，所掌握的概念内部对象也呈现出来较为僵化的特征.事实上，学生并没有真正理解概念，只是将概念分离开来，孤立地去理解它们，僵化地会用每一个概念.这样一来，就会使得学生对于每一个概念都很熟悉，但是问题终究解决不了.或者说学生对于相关的概念定义都能够熟练背诵，而在运用的时候却感到不知所措.甚至有的时候还会存在着概念联系“不恰当”的错误，主要表现就是学生概念学习和运用中的不恰当，就学生作业的情况来看，这种“不恰当”主要可以表现在三种情况，首先是将概念的非本质特征作为概念的本质特征，与其他概念之间形成联系，最终必将带来干扰，进而产生错误；其次是将概念的定义、性质和判定混为一谈，最为常见的就是把概念当中的某些性质作为概念的整个本质特征，最终所带来的就是较为明显的“思维混乱”，甚至有些错误联系实质上对于概念是一种“歪曲”.最后是出现思维“恋旧”的限制错误，如在学习正数与负数的时候，有的学生往往会认为-a一定就是负数，这种想法显然是由学生平时的思维惯性所导致的，最终又不知不觉地将a限制在正数的范围当中.

三、教学建议

1.树立建构主义教学观并精心设计教与学的活动

通过以往的教学实践能够看出，关于数学概念并不能单纯地由教师简单地传授给学生，而是需要依靠每名学生依据现有的知识和经验来主动地进行建构.在这样一种前提条件之下，教师需要充分重视学生的学习活动，使得学生能够亲身体现、建构数学概念.基于此，在课堂教学当中，教师还可以创设相应的问题情境，使得学生能够尽可能地拥有更多的现实背景.在关于问题设置的时候，要注意以下几点：（1）问题的内容能够充分揭示相关数学概念的现实背景和形成过程，并且难易程度不易偏高或者偏低，符合学生的学习水平，从而使得学生的学习活动能够顺利展开.（2）在数量方面，要做到适量原则，从而使得学生能够取得充足的活动体验.（3）充分考虑到问题设计的趣味性和多样性，使学生学习数学的积极性能够得以激发.

2.渗透教学知识形成中的数学思想和方法

大量的研究结果表明，关于数学思想和方法并不单纯是数学知识产生的灵魂所在，更是数学学习的重要目标之一.如果能够引导学生形成良好的数学思想和方法，那么必然会帮助学生展开思维，从而懂得建构概念的真正内涵.对于教师而言，在具体的教学活动当中，理应给予学生一定的提升，引导并且在教学当中归纳隐藏在数学知识背后的数学思想和方法.与此同时，教师切不可孤立各个数学思想和方法之间的密切联系，因为这门学科本身就充满逻辑性，只有加强知识点之间的联系，才能够使得学生思维更加灵活.

3.数学对象的建构需要多次反复强化才能形成

一个数学概念从“过程”到“对象”的建立是一个较为漫长的复杂的过程，并且这一过程较为抽象，在很多时候并不能够通过实物表现出来.教师要在教育教学过程当中反复强调，循序渐进，螺旋上升，使得学生能够真正理解其中的含义.并且“对象”的建立要注意其简练文字形式和符号的表示，积极地引导学生在大脑当中建立健全数学知识的直观结构形象.当然，对于教师而言，更要注重对于知识的“概型”的建立，从而强化知识之间的联系和应用，帮助学生在大脑当中建立完整的数学概念的心理图式.

总的来说，数学概念教学是教育教学系统当中极为重要的过程，并且关于数学概念的建立需要一个较为繁杂的过程，且具有较为抽象的特征.对于教师而言，理应及时更新观念，一方面，应当精心设计教与学的活动，提高学生积极性与参与热情；另一方面，要通过反复训练强化来加深学生印象，使得这门学科的价值得到最大程度上的发挥.

【参考文献】

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[2]卢元镇.知觉学习和发展的原理[M].杭州：浙江教育出版社，2010.

[3]于君.试论当前数学教学的变革路径[J].北京理工大学学报，2012.