聚焦线性规划新考情

谢高峰

利用可行域的公共部分求参数

例1  若直线[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]与不等式组[x+y-7<0，x-3y+1<0，3x-y-5>0]表示的平面区域有公共点，则实数[λ]的取值范围是（   ）

A. [（-∞，-137）?（9，+∞）]   B. [（-137，1）?（9，+∞）]

C. [（1，9）]   D. [（-∞，-137）]

解析  画出可行域，求得可行域的三个顶点[A（2，1），][B（5，2），C（3，4）].

而直线[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]恒过定点[P（0，-6），]且斜率为[3λ+1λ-1]，

因为[kPA=72，kPB=85，kPC=103]，

所以由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ∈][（-∞，-137）?（9，+∞）].

答案  A

点拨  画出可行域，求得可行域的三个顶点，确定直线过定点[P]（0，-6），求得直线[PA，PB，PC]的斜率，其中最小值[85]，最大值[72]，则由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ]的取值范围.

利用最值的倍数关系求参数

例2  已知[x]，[y]满足[y≥x，x+y≤2，x≥a，]且[z=2x+y]的最大值是最小值的[4]倍，则[a]的值是（   ）

A. [34]     B. [14]     C. [211]      D. [4]

解析  画出[x，y]满足[y≥x，x+y≤2，x≥a]的可行域如下图.

由 [y=x，x+y=2]得，[A1，1]，由[x=a，y=x]得，[Ba，a].

当直线[z=2x+y]过点[A1，1]时，目标函数[z=2x+y]取得最大值，最大值为3.

当直线[z=2x+y]过点[Ba，a]时，目标函数[z=2x+y]取得最小值，最小值为[3a].

由条件得，[3=4×3a，]所以[a=14].

答案  B

点拨  由题意可先作出不等式表示的平面区域，再由[z=2x+y]可得[y=-2x+z]，则[z]表示直线[y=-2x+z]在[y]轴上的截距，截距越大，[z]越大，可求[z]的最大值与最小值.

利用充分条件关系求可行域的面积最小值

例3  已知[Ω]为[xOy]平面内的一个区域.[p]：点[（a，b）∈{（x，y）|x-y+2≤0，x≥0，3x+y-6≤0}];[q]：点[（a，b）∈Ω].如果[p]是[q]的充分条件，那么区域[Ω]的面积的最小值是         .

解析  命题[p]对应的平面区域为如图阴影部分.

则由题意可知，[C（0，2），B（0，6）].

由[x-y+2=0，3x+y-6=0，?x=1，y=3.]

即[D（1，3）]，所以三角形[BCD]的面积为[12×6-2×1=2]，[p]是[q]的充分条件，那么区域[Ω]的面积的最小值是2.

答案  2

点拨  先利用线性规划作出不等式组对应的平面区域[BCD]，然后利用[p]是[q]的充分条件，确定平面区域[BCD]与[Ω]之间的面积关系.

利用可行域求向量射影的取值范围

例4  已知实数[x，y]满足约束条件[x+2y≥2，2x+y≤4，4x-y≥-1.]若[a=x，y，b=3，-1]，设[z]表示向量[a]在向量[b]方向上射影的数量，则[z]的取值范围是（   ）

A.[-32，6] B.[-1，6]

C.[-3210，610] D.[-110，610]

解析  画出约束条件的可行域，由可行域知：[a=（x，y）=2，0]时，[a]在[b]方向上的射影的数量最大，此时[a?b=6]，所以[a]在[b]方向上的射影的数量为[610];当[a=12，3]时，[a]在[b]方向上的射影的数量最小，此时[a?b=-32]，所以[a]在[b]方向上的射影的数量为[-3210].所以[z]的取值范围是[[-3210，610]].

答案  C

点拨  作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算[z]的表达式，利用数形结合即可得到结论.

可行域中的最值问题与基本不等式结合

例5  若目标函数[z=ax+by（a>0，b>0）]满足约束条件[2x-y-6≤0，x-y+2≥0，]且最大值为40，则[5a+1b]的最小值为（   ）

A. [256]   B. 4 C. [94]    D. 1

解析  不等式表示的平面区域阴影部分，

当直线[z=ax+by（a>0，b>0）]过直线[x-y+2=0]与直线[2x-y-6=0]的交点（8，10）时，目标函数[z=ax+by（a>0，b>0）]取得最大40，即[4a+5b=20]，

而[5a+1b=5a+1b×4a+5b20=54+5b4a+a5b≥94].

答案  C

点拨  先根据条件画出可行域，设[z=ax+by][（a>0，][b>0）]，再利用几何意义求最值，将最大值转化为[y]轴上的截距，只需求出直线[z=ax+by（a>0，b>0）]，过可行域内的点（8，10）时取得最大值，从而得到一个关于[a，b]的等式，最后利用基本不等式求最小值即可.