“构造函数”在导数中的应用

王凯

构造函数是处理导数题的重要方法，也是解决导数的重要途径，通过不断地构造函数把遇到的“拦路虎”一个个地克服掉，最终解决这类问题.通过一题多解让我们打开思维的闸门，也使我们的思维得到了训练，因此我们在平时练习中要能够体会构造函数的数学价值.

例  已知函数[f（x）=lnx-a（x-1）]，[a∈R].当[x≥1]时，[f（x）]≤[lnxx+1]恒成立，求[a]的取值.

解法1  [f（x）-lnxx+1=xlnx-a（x2-1）x+1]，

令[g（x）=xlnx-a（x2-1）（x≥1），]

[g（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g（x）=lnx+1-2ax，]

[F′（x）=1-2axx].

（1）若[a≤0，][F′（x）>0，][g′（x）]在[[1，+∞）]上递增，[g′（x）≥g′（1）=1-2a>0，]

[∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0].[f（x）≥lnxx+1.]

（2）若[00，]

[∴g（x）]在[（1，12a）]上递增，[g（x）≥g（1）=0.][f（x）≥lnxx+1.]

（3）[若a≥12，F（x）≤0在1，+∞上恒成立，]

[∴g（x）在[1，+∞）上递减，g（x）≤g（1）=1-2a≤0].

[∴g（x）在[1，+∞）上递减，g（x）≤g（1）=0，f（x）-lnxx+1≤0.]

[综上所述，a的取值范围是 12，+∞].

解法2  [当x≥1时，f（x）≤lnxx+1恒成立等价于][lnx-][lnxx+1≤a（x-1）].

[令h（x）=lnx-lnxx+1=xlnxx+1， g（x）=a（x-1）]，

[h（x）=x+1+lnx（x+1）2， ]

[∵x≥1， ][∴h（x）>0，即h（x）在1，+∞上是增函数.]

[g（x）=a，∵当a>0时，∴g（x）在1，+∞上是增函数.]

[又∵h（1）=g（1）=0]，

[∴h（x）≤g（x）（x≥1）恒成立，只需h（1）≤g（1）].[即12≤a.]

解法3  [当x≥1时，f（x）≤lnxx+1恒成立等价于lnx-][lnxx+1≤a（x-1）]，

[（1）当x=1时，显然恒成立，∴a∈R].

[（2）当x>1时，] [上式等价于lnxx-1+lnxx2-1≤a]

[?lnxx-1+lnxx2-1max≤a.]

[令F（x）=lnxx-1+lnxx2-1，则F（x）=x2-1-lnx-x2lnx（x2-1）2].

[令g（x）=x2-1-lnx-x2lnx，则g（x）=x2-1-2x2lnxx].

[令h（x）=x2-1-2x2lnx，则h（x）=-4xlnx].

[∵x>1，∴h（x）<0，那么h（x）在（1，+∞）上是减函数.∴h（x）

[∴g（x）<0，有g（x）

[∴F（x）≤limx→1+F（x）=limx→1+（xlnx）（x2-1）=limx→1+1+lnx2x=12，即12≤a.]

[综上所述，a的取值范围是12，+∞.]