动能定理与变力功

石有山

一、利用动能定理求变力功

侧，从地面上以初速度νo=10m/s竖直向上抛出一质量m=0.2kg的小球，若运动过程中小球受到的空气阻力的大小与其速率成正比，球运动的速率随时间变化的规律如图l所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率ν1=2m/s，且落地前球已经做匀速运动（g=10m/s⁰）。则以下说法正确的是（）。

A.小球在上升阶段速度大小为2m/s时，其加速度大小为20m/s⁰

B.小球在tl时刻的加速度为零

C.小球抛出瞬间的加速度大小为10m/S⁰

D.小球从抛出到落地过程中空气阻力所做的功为-9.6J

解析

匀速运动时，小球在上升阶段速度大小为2m/s时，根据牛顿第二定律，解得，选项A正确；小球在t1时刻。到达最高点，只受重力，加速度大小为10m/s²，选项B错误；小球抛出瞬间，不仅受重力，还受向下的空气阻力，加速度大于10m/s²，选项C错误；小球从抛出到落地过程中，重力做功为0，设阻力做功为w，根据动能定理，解得W=-9.6J，选项D正确。答案为AD。

点评

阻力为变力，求阻力功时，应用动能定理，可以把一个变力对应的过程量转化为两状态量之差求解。

二、通过变力功利用动能定理求其他物理量

例2 某中学的部分学生组成了一个课题小组，对海啸的威力进行了模拟研究，他们设计了如下的模型：如图2.在水平地面上放置一个质量为m=4kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移x变化的图像如图3所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ=0.5，g=10m/s²，则：

（l）运动过程中物体的最大加速度为多少？

（2）在距出发点什么位置时物体的速度达到最大？

（3）物体在水平面上运动的最大位移是多少？

解析

（1）由牛顿第二定律得F-μmg=

当推力F=100N时，物体所受合力最大，加速度最大。

代人解得a=20m/s²。

（2）由图像可得推力随位移x变化的数值关系为：F=100-25x。

速度最大时加速度为O，则F=μmg。

代人解得x=3.2m。

（3）由图像可得推力对物体做功W=200J。

由动能定理得

代入解得x_m=lOm。

点评

推力功为变力功，利用F-x图像下的面积求出变力功，再利用动能定理可以求出其他物理量。

三.变力功在动能定理中的综合应用

例3 学校科技节上，某同学发明了一个用弹簧枪击打目标的装置，原理如图4，AC段是水平放置的同一木板；CD段是竖直放置的光滑半圆轨道，圆心为0，半径R=0.2m；MN是与O点处在同一水平面的平台；弹簧的左端固定，右端放一可视为质点、质量m=0.05kg的弹珠P，它紧贴在弹簧的原长处B点。对弹珠P施加一水平外力F，缓慢压缩弹簧，在这一过程中，所用外力F与弹簧压缩量.z的关系如图5所示。已知BC段长L=1.2m，E、0间的距离s=0.8m。计算时g取10m/s²，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。压缩弹簧释放弹珠P后，求：

（l）弹珠P通过D点时的最小速度.ν_D；

（2）弹珠P能准确击中平台MN上的目标E点，它通过C点时的速度ν_C；

（3）当缓慢压缩弹簧到压缩量为x₀。时所用的外力为8.3N，释放后弹珠P能准确击中平台MN上的目标E点，求压缩量x₀为多少。

解析

（1）当弹珠做圆周运动到D点且只受重力时的速度最小，根据牛顿第二定律，有，代人数据得

（2）弹珠从D点到E点做平抛运动，设此时它通过D点的速度为ν，则

从C点到D点，利用动能定理，有-mg（2R）=

联立可得

（3）由图5知弹珠受到的摩擦力f=0.1N。

根据动能定理可得

由图读出F1=0.1N，F2=8.3N。

得x₀=0.18m。

点评

动能定理常与平抛运动和圆周运动结合，掌握平抛运动和圆周运动知识是解题的基础，掌握变力功的求法是解题的关键。