圆锥曲线离心率的几种常见解法探讨

邵长福

[摘要]探讨几种常见的圆锥曲线离心率的求解方法，以培养学生的解题能力.

[关键词]圆锥曲线离心率解法

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140041

离心率是圆锥曲线的重要性质，也是圆锥曲线的重要几何特征，它考查学生的综合能力，因此在高考中频繁出现，它的解法灵活多变，下面例析几种常见的解法.

一、直接求出a，c

已知圆锥曲线的标准方程，直接求出a，c的值，再利用离心率公式e=ca，求其离心率.

【例1】 （2014年高考江西卷文第14题）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于 A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于.

分析：∵OD∥F2B，O为F1F2的中点，∴D为F1B的中点，又AD⊥F1B，∴|AF1|=|AB|=2|AF2|.设|AF2|=m，则|AF1|=2m，|F1F2|=33.

因此e=ca=|F1F2||AF1|+|AF2|

=3m2m+m=

33.

评注：利用椭圆的几何性质及椭圆的定义来求解，这就要求考生熟练地掌握椭圆的几何性质.

【例2】（2005年全国高考江苏卷）点P（-3，1）在椭圆x2a2+

y2b2=1（a>b>0）

的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）.

A.33B.13C.22D.12

分析：由题意知，入射光线为y-1=-52（x+3），关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y+5=0，∵P（-3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有

a2c=3

-5c+5=0

，

解得a=3，c=1，知e=ca=33

.故选A.

评注：利用对称性先求反射光线所在的直线的方程，然后再求出a，c，问题即可迎刃而解.

二、构造a，b或a，c的齐次式，通过方程解出离心率e

根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，寻找a、c的关系式（特别是齐二次式），进而转化为关于e的一元二次方程，从而解方程，求出离心率e.

【例3】（2014年高考重庆卷文第8题）设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF|-|PF2|）2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为（ ）.

A.2 B.15C.4D.17

分析：由双曲线的定义知：||PF1|-|PF2||=2a，

又（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，∴4a2=b2-3ab，

（ba） 2-3（ba）-4=0，解得ba=-1（舍去）或ba=4.∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+（ba）2=17，e=17.

【例4】 （2014年高考江苏卷第17题）如右图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的左、右焦点，顶点B的坐标是（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.

（1）若点C的坐标为（43，13），且BF2=2，求椭圆的方程;（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.

分析：

（1）由题意知，F2（c，0），B（0，b），|BF2|=b2+c2=a=2.

又C（43，13），∴（43）22+（13）2b2=1，得b=1，

∴椭圆方程为x22+y2=1.

（2）直线BF2的方程为xc+yb=1，解得A点的坐标为（2a2ca2+c2，-b3a2+c2）.

则点C的坐标为（2a2ca2+c2，b3a2+c2），

kF1C=

b3a2+c2

2a2ca2+c2+c

=

b33a2c+c3

，

又F1C⊥AB，kAB=-bc，

∴b33a2c+c3·（-bc）=-1，

即b4=3a2c2+c4，

∴（a2-c2）2=3a2c2+c4，解得c2a2=15，故

e=ca=55.

评注：以上两个例题都是运用方程的思想求离心率.另外，牢记一些常用结论，有助于快速解题，如焦半径公式、通径、焦点三角形面积公式、定值结论等.

三、寻找a与c的关系式

由于离心率是a与c的比值，故不能分别求出a，c时，可寻找a与c的关系式，即用c来表示a或用a来表示c即可解决.

【例5】（2005年全国高考卷）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.

A.22B.2-12C.2-2D.2-1

分析： 由题意得|PF1|=2|PF2|=2|F1F2|=22c，，又由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，

即22c+2c=2a，则a=（2+1）c，得e=ca=2-1，故选D.

【例5】 （2014高考安徽卷文第21题）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|.

（1） 若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|;

（2）若cos∠AF2B=35，求椭圆E的离心率.

分析：（1）由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，得|AF1|=3，|F1B|=1，又∵△ABF2的周长为16，∴4a=16，a=4.

|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.

（2）设|F1B|=k（k>0），|AF1|=3k，|AB|=4k，由椭圆的定义得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k，

在△ABF2中，由余弦定理得：（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-2×（2a-3k）（2a-k）×35，

化简得：（a+k）（a-3k）=0，∵a+k>0，∴a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k，故|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，

故F1A⊥F2A，

所以△AF1F2为等腰直角三角形，从而c=22a，所以椭圆E的离心率e=ca=22.

评注：以上例题涉及椭圆的第一定义，故常用到余弦定理及式子a2=b2+c2来求解.

四、求离心率e的取值范围

这类题型的难度较大，解决这类题目主要的思路是去寻找一个关于a，b，c的齐次不等式，转化为解关于e的不等式，求出e后，要注意圆锥曲线离心率的取值范围：椭圆的离心率01;抛物线的离心率e=1.

【例6】（2008年高考福建卷理第11题）双曲线

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.

A.（1，3）B.（1，3]C.（3，+∞）D.[3，+∞）

分析：依题意，设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a及|PF1|=2|PF2|得，|PF1|=4a，

|PF2|=2a.

设P（x0，y0），由焦半径公式得|PF2|=ex0-a=2ax0=3ae，∵点P在双曲线的右支上，

∴x0≥0，即3ae≥a，解得e≤3，又∵e>1，∴1

评注：利用双曲线的几何性质去寻找与有关的不等式，从而求出e的取值范围.

（责任编辑钟伟芳）