高中数学最值问题解法探讨

黄佳

[摘要]最值问题是一类特殊的数学问题，是历年高考重点考查的知识点之一.以高中数学中的一个最值问题为载体，从均值不等式、函数、数形结合三个角度阐述解决最值问题的基本策略.

[关键词]最值问题函数  不等式几何

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140037

在高三复习中，学生经常为一些最值问题而头疼，掌握的情况也不够理想.本文通过对一道典型的例题的多解探析及拓展，以期培养学生思维的灵活性.

题目：已知a，b均为正数，且满足1a+2b=14

，求a+b+a2+b2的最小值.

分析：将目标函数适当转化是求解最值问题的基本策略.根据该问题的已知条件和目标函数的特点，求a+b+a2+b2的最小值有如下的方法.

方法一：将目标函数线性化，运用均值不等式求最值

将a2+b2转化为一次形式的途径有很多，这里使用不等式“a2+b2≥asinθ+bcosθ（a>0，b>0）”来线性化，该不等式简证如下.

证明：若asinθ+bcosθ <0，不等式显然成立.

当asinθ+bcosθ≥0时，a2+b2≥asinθ+bcosθ

（a2+b2）2≥（asinθ+bcosθ）2（1-sin2θ）a2-2absinθcosθ+（1-cos2θ）b2≥0 a2cos2θ-

2absinθcosθ+b2sin2θ≥0（acosθ-bsinθ）2≥0， 而（acosθ-bsinθ）2≥0显然成立，所以a2+b2≥asinθ+bcosθ①成立（当且仅当acosθ=bsinθ时取等号），综上，不等式成立.

因此，a+b+a2+b2≥a+b+asinθ+bcosθ=（1+sinθ）a+（1+cosθ）b.（当且仅当acosθ=bsinθ时取等号）

由已知1a+2b=14，可得4a+8b=1.

∴（1+sinθ）a+（1+cosθ）b=（4a+8b）[（1+sinθ）a+（1+cosθ）b]=4（1+sinθ）+8（1+cosθ）+4（1+cosθ）ba+8（1+sinθ）ab

≥4（1+sinθ）+8（1+cosθ）+8（1+cosθ）（1+sinθ）②（当且仅当4（1+cosθ）ba=8（1+sinθ）ab时取等号）.

根据不等式①，acosθ=bsinθba=cosθsinθ=1tanθ=

1-tan2θ22tanθ2.

根据不等式②，

4（1+cosθ）ba=

8（1+sinθ）abb2a2=

2（1+sinθ）1+cosθ

=2（sinθ2+cosθ2）22cos2θ2

=

（1+tanθ2）2ba=1+tanθ2（a>0，b>0）.

由以上两式可得：1+tanθ2=1-tan2θ22tanθ2

，解得tanθ2=13.

所以ba=1+tanθ2=1+13=43，再结合已知条件4a+8b=1，可求得a=10，b=403.

将a=10，b=403代入a+b+a2+b2，求得最小值为40.

方法二：将目标函数齐次化，构造函数求最值

a+b+a2+b2=（a+b）2-（a2+b2）2（a+b）-a2+b2

=2aba+b-a2+b2.

由已知1a+2b=14

得：4b+8a=ab.

将ab=4b+8a代入2aba+b-a2+b2得：

a+b+a2+b2=

8b+16aa+b-a2+b2=

8ba+161+ba

-1+（ba）2

.

令x=ba，构造函数f（x）=

8x+161+x-1+x2（x>0）

便可解决.

f′（x）=-81+x2+16x-8（1+x-1+x2）2·1+x2.

令f′（x）=0-81+x2+16x-8=0，解得：x=43或x=0（舍去）.

f（x）在（0，+∞）上有唯一的极值点x=43，且为极

域皆相邻，是特殊区域，先选一种颜色把区域1染好，共4种选法;第二步，其他区域又转变成用3种颜色染5块区域的问题，共种（3-1）5+（-1）5×（3-1）=30.由分步原理可知共有4×30=120种方法.

图5

2. 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色， 如果只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有多少？

分析：与第1题的方法相同.先染P再染其他的点.共5×[（4-1）4+（-1）4×（4-1）]=420种.

3. 用5种不同的颜色给图6中标①②③④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

图6

分析：先给①号区域涂色，有5种方法，再给②号涂色，有4种方法，接着给③号涂色，有3种方法.由于④号与①、②不相邻，所以有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×4=240种.

图7

四、辨析应用

某伞厂生产的品牌“太阳伞”伞蓬都由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？

分析：本题不能运用上述公式来解决，运用公式时一定要注意判断准确.把八个区域分别标上1、2、3、4、5、6、7、8八个号码，则用七种颜色对1、2、3、4、6、7、8七个区域涂色（因5号与1号同色）有7！种方法，又由于1号与5号，2号与6号，3号与7号，4号与8号是对称的.学过旋转后可知，5、6、7、8、1、2、3、4与1、2、3、4、5、6、7、8是重合的，所以每种染色方法重复了两次，因此这种图案的伞至多有7！2=2520种.

（责任编辑钟伟芳）