从一中考试题学习中位线的应用

刘建辉

在几何解题过程中，中位线是一条非常有效的辅助线. 而在日常的教学中，曾多次利用中位线解决过一些问题. 假若在一些几何问题的解决中，能够联想到中位线并且利用好中位线，往往可以起到事半功倍的效果. 同时由于中位线这一辅助线在很多时候又难以想到，则更显弥足珍贵. 因而觉得在中考备考的综合复习时，有必要和学生共同探究这一辅助线的应用，借此提高学生自我总结能力，达到掌握一定的数学方法，同时提高自身的解题能力的目的.

在每年中考试题中不乏一些好题，它体现了某一种数学思想方法的应用，我们可以应用这些真题指导我们的复习备考，也可以提高学生的参与意识，在此，2009年河北省中考第24题给我们提供了一个很好的范例.

一、真题欣赏

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M.

（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = AH，FM⊥MH.

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形.

（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

二、 解题分析

要完成这个问题的解答，我们应采用什么方法？观察题目条件，发现多个中点，联想中点辅助线的几种作法：（1）中线或过中点的线段延长加倍；（2）连接中点，形成中位线. 引导学生能够想到利用中位线去解答问题.

解：（1）比较简单，省略.

（2）如图4，连接MB，MD，设FM与BC交于P点. ∵ B，D，M分别是AC，CE，AE的中点，

∴ MD∥BC且MD = BC = BF，MB∥CD且MB = CD = DH.

∵ AC = CE，∴四边形BCDM是菱形.

∴ ∠CBM = ∠CDM.

∵ ∠FBP = ∠HDC，∴ ∠FBM = ∠MDH.

∵ △FBM ≌ △MDH，

∴ FM = MH，∠MFB = ∠HMD.

∵ ∠FMH = ∠FMD - ∠HMD = ∠APM - ∠MFB = ∠FBP = 90°，

∴ △FMH是等腰直角三角形 .

（3）原题并未对这一问题要求证明，非常遗憾，有种“买椟还珠”的感觉. 其实，这一问更能体现中位线在构造全等 三角形时的神奇作用. 因而在实际教学过程中要求学生求解，以此加强学生对中位线的认识.

如图5，连接MB，MD，设FM与BC交于P点.

∵ B，D，M分别是AC，CE，AE的中点，

∴ MD∥BC且MD = BC = BF，MB∥CD且MB = CD = DH.

∵ AC ≠ CE，∴ 四边形BCDM是平行四边形.

∴ ∠CBM = ∠CDM.

∵ ∠FBP = ∠HDC，∴ ∠FBM = ∠MDH.

∵ △FBM ≌ △MDH，∴ FM = MH，∠AFB = ∠HMD.

∵ ∠FMH = ∠FMD - ∠HMD = ∠APM - ∠MFB = ∠FBP = 90°，

∴ △FMH是等腰直角三角形 .

比较第（2）问和第（3）问，在第（2）问中四边形BCDM是菱形，△FBM和△MDH都是等腰三角形，无须考虑边的对应关系，而在第（3）问中，四边形BCDM是平行四边形，△FBM和△MDH不是等腰三角形，需考虑边的对应关系. 这正体现了中位线的价值.

三、方法提炼

在这个中考题的解答中，我们很好地利用了中位线，从而使问题顺利解决. 那么，需要我们思考在什么条件下需要“中位线”？“中位线”的作用和价值是什么？当问题中出现具有公共端点的线段的一个中点或多个中点时，或者是需要构造全等三角形时，我们可以考虑构造中位线，完成线段位置和大小的转移.

构造中位线有两大作用：（1）中位线完成线段的位置转移并能构造线段之间新的相等关系，为构造全等三角形做好准备；（2）中位线构造了平行关系，建立了新的角的相等关系，为构造全等三角形做好准备.

四、后 记

根据建构主义观点，“学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程. 学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无法由他人来代替的. ”在这里，教师和学生一起经历了方法的形成、方法的应用，教师和学生一起完成了这种方法的构建，而非教师一味地灌输. 经常有教师讲，这道题我讲过，这道题的方法我讲过，但学生就是不会. 原因何在？那就是我们没有和学生一起经历方法的形成过程. 借此也希望为即将到来的中考综合复习起到一个抛砖引玉的作用，让我们的学生能够真正地去总结数学方法，并把自己总结的方法应用到考试中去，取得优异的成绩.