全面分析，准确决策

耿恒考

一 知识要点

1.数据的代表

（1）平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，称为这组数据的平均数.

（2）中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.

（3）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，

注意，平均数、中位数、众数都能反映一组数据的集中趋势，从各自的角度呈现这组数据的“平均水平”.平均数能充分利用所有数据的信息，是这组数据的一个“重心”，在生活中较为常用.但它容易受极端数据的影响，而且计算较繁.中位数的优点是计算简单，受极端数据的影响较小，但不能充分利用所有数据的信息.众数的可靠性相对较差（有时不唯一），也不能利用所有的数据信息，它不受极端数据的影响，求法最简便.当一组数据中个别数据变动较大时，宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”.

2.数据的波动

（l）极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差，称为这组数据的极差.

（2）方差：在一组数据中，每个数据与平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.

若用表示数据的方差，用x表示这些数据的平均数，则：

注意，极差只能反映一组数据的波动范围，难以体现各个数据与平均数相比的波动情况.方差反映一组数据与其平均数间的离散程度，能充分利用所有数据的信息.方差越大，数据组的波动就越大.

二 解题技巧

1.在计算平均数时：

（1）如果n个数据中，各个数都比较大，而且都接近某个数a，我们可以将各个数都减去a，先算出所得差的平均数x，再求得x=x+a.这样可以大幅减少计算量，提高解题的正确率.

（2）当一组数据中有许多数据多次重复出现时，使用加权平均数公式计算会更简便.

2.在计算中位数时，要关注数据信息的呈现方式.不管是表格还是统计图，都要先将这些数据进行排序（由小到大或由大到小）.

3.如果数据的平均数是，方差是，那么数据的平均数是，方差是数据的平均数是，方差仍是数据的平均数是，方差是

三 思想方法

统计学的基本思想是用样本去估计总体，在研究问题时，往往先从总体中随机抽取大小合适的样本，然后通过对所抽取的样本进行计算和分析，进而对总体的相应情况作出推断.

四 易错题解析

例1 如果一组数据8，8，x，6的中位数与平均数相等，求x的值.

解析：解这类题的错误常在于对数x的考虑不全面.数x是一个多大的数，要分类讨论：

（l）当x≤6时，数据排序为x，6，8，8.此时中位数是7，而平均数为，则，得x=6.

（2）当6（3）当x≥8时，数据排序为6，8，8，x，此时中位数是8，而平均数为，得x=10.

综上，x的值为6或10.

例2 如果一组数据6，8，10，x的众数与平均数相等，求这组数据的中位数.

解析：这组数据的平均数为

题中给出的已知数据有6，8和10，因此众数可能是6，8或10.

所以的值可能等于6，8或10，须分三种情况考虑，代入可知，唯当众数为8时，众数与平均数相等.故这组数据的中位数是8.

五 典型题赏析

1.平均数的应用

例3 某单位要从内部选拔高管一名，为此对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表1所示，

根据录用程序，该单位组织200名职工对这三人用投票推荐的方式进行民主评议，三人的得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图1所示，每得一票记作1分.

（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？

（2）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试的得分按4：3：3的比例确定个人的成绩.那么，谁将被录用？

解析：（1）首先算出三人的民主评议得分依次为50分，80分，70分，再求出甲、乙、丙三人的平均成绩分别为72.7分，76.7分，76分.因此乙将被录用.

（2）利用加权平均数公式可求得每个人的成绩分别为72.9分，77分，77.4分，因此丙将被录用.

感悟：要根据问题的特点灵活选用平均数的计算公式，以尽可能地使计算简便.

2.平均数、中位数、众数的应用

例4 某校信息技术竞赛小组20名同学一次竞赛的成绩统计如下：

（1）若成绩的平均分为73分，求x，y的值.

（2）在（1）的条件下，设此竞赛小组20名同学竞赛成绩的众数为a.中位数为b，求a-b的值.

解析：由表中信息可知，两个未知数x，y满足x+y=13.再利用平均分x=73，可以得到关于x，y的另一个二元一次方程.由此可以通过解方程组得出x=5，y=8.根据以上结果，可以得出a=80，b=75，便知a-b=5.

3.方差的应用

例5 甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，各次的打靶成绩情况如图2所示.

（1）清填写上面的表格.

（2）请从不同的角度评价甲、乙两人的打靶成绩，

解析：（1）由折线图提供的信息可知，甲、乙两人的10次成绩分别为：甲9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.从而可知甲、乙成绩的平均数都是7；中位数分别是7，7.5；方差分别是1.2，5.4；命中9环及以上的次数分别为1，3.

（2）①从平均数和方差结合看，由于平均数相同，但，因此甲比乙的成绩更稳定些；②从平均数和中位数结合看，平均数相同，但乙的中位数高，因此乙的成绩好些；③从平均数和命中9环及以上的次数结合看，平均数相同，而乙命中9環及以上的次数比甲多，故乙比甲的成绩要好些；④从折线图的走势上看，甲一直在7环附近波动，没有什么起色，而乙从第5次开始成绩一直在上升，而且越来越好，故乙的潜力大.

感悟：在平均数相同的情况下，看稳定性就是比较方差的大小.