平行四边形知识梳理

陈德前

一 知识要点自检

1.平行四边形的性质：（l）平行四边形的对边______且______；（2）平行四边形的对角____，邻角______；（3）平行四边形的对角线______；（4）平行四边形是______对称图形，对角线的交点是______.

2.平行四边形的判定：（1）两组对边______的四边形是平行四边形（定义）；（2）两组对边______的四边形是平行四边形；（3）两组对角______的四边形是平行四边形；（4）对角线______的四边形是平行四边形；（5）一组对边______且______的四边形是平行四边形.

3.矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质，同时它还具有自身的性质：（1）矩形的四个角都是______；（2）矩形的对角线______；（3）矩形是轴对称图形，有______条对称轴.

4.矩形的判定：（l）有一个角是______的平行四边形是矩形；（2）对角线______的平行四边形是矩形；（3）有______个角是直角的四边形是矩形.

5.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，同时它还具有自身的性质：（1）菱形的四条边都____；（2）菱形的对角线____，且每一条对角线平分______；（3）菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴，菱形有______条对称轴；（4）菱形的面积等于______乘积的一半.

6.菱形的判定：（l）有一组邻边______的平行四边形是菱形；（2）对角线______的平行四边形是菱形；（3）______条边相等的四边形是菱形.

7.正方形的性质：既具有______的性质，义具有______的性质.

8.正方形的判定：（l）有一组邻边______的矩形是正方形；（2）有一个角是______的菱形是正方形.

9.三角形的中位线：连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线______第三边，且等于第三边的______.由三角形的中位线可同时得出线段间的位置关系和数量关系.

10.直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的____，它将直角三角形分为两个等腰三角形.

11.平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到______的距离叫做这两条平行线之间的距离.平行线之间的距离______.

二 常用解题技巧

1.直接应用平行四边形的性质解决有关角或线段的问题

例l （2014年·宿迁）如图l，则∠ADB的度数是（）.

A.16°

B.22°

C.32°

D.68°

解析：由BC=BD可得∠BDC=∠C=74°，故∠CBD=32°.再由平行四边形的性质可求得∠ADB=32°.故选C.

点评：求平行四边形中的角时，常利用平行四边形的对边平行、对角相等、邻角互补等性质，

侧2（2014年·黔南）如图2.把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠.设重叠部分为△EBD，则下列说法中错误的是（）.

解析：根据矩形的性质，并结合折叠的性质来分析，知A，B正确，由折叠知∠CBD=∠C'BD.又AD//BC，所以∠ADB=∠CBD，从而有∠ADB=∠C'BD，EB=ED.C正确.由于矩形的形状不一定，所以D不一定成立.因此选D.

点评：折叠前后图形的形状与大小不变.

2.应用判定方法进行判定

例3 （2014年·安顺）如图3，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC，垂足为点D.AN是△ABC的外角∠CAM的平分线.CE⊥AN，垂足为点E.

（1）求证：四边形ADCE为矩形.

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明.

解析：（1）通過证明四边形ADCE是有三个角是直角的四边形，来说明它为矩形.

（2）假设四边形ADCE为正方形，则有AD=DC=BD.进而得出∠B=45°或∠BAC=90°等.证明从略.

点评：判定特殊平行四边形的方法一般有两种：（1）一次判定法：即从任意四边形出发，根据有关结论，直接说明该四边形是矩形、菱形或正方形（如（1）题）；（2）逐层判定法：先判定是否为平行四边形，再判定是否为矩形或菱形，最后判定是否为正方形，在具体解题中，我们常将这两种方法结合起来使用.

3.先证明四边形是平行四边形或特殊平行四边形.再应用有关的性质

例4 （2014年·宿迁）如图4，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形.

（2）求证：∠DHF=∠DEF.

解析：（1）由点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，运用中位线定理得到DE∥AC，EF//AB，可知四边形ADEF是平行四边形.

（2）由四边形ADEF是平行四边形，有∠DAF=∠DEF.在Rt△AHB中，D是AB的中点，可得∠DAH=∠DHA：同理可得∠FAH=∠FHA.从而有∠DAF=∠DHF，于是∠DHF=∠DEF.

点评：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DH=DA，进而得到，是转化边角关系的一个常用方法.

三 综合题赏析

例5 （2014年·深圳）如图5，已知BD垂直平分AC，

（l）证明四边形ABDF是平行四边形.

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长，

解析：（1）由线段垂直平分线的性质可得△ABC和△ADC均为等腰三角形，故而四边形ABDF是平行四边形.

（2）由条件可知是菱形，得到AB=BD=5.设BE=x，则DE=5-x.然后利用勾股定理，有得到，解得.则

点评：本题涉及多个知识点，具有一定的综合性，

例6（2012年·绥化）如图6，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4）.矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的点G处.E.F分别在AD和AB上，且F点的坐标是（2，4）.

（l）求G点的坐标.

（2）求直线EF的解析式.

解析：（1）根据折叠的性质可知FC=AF=2.而FB=AB-AF=1，故在Rt△BFG中，可求出，则从而得到G点坐标为.

（2）由（1）可知FG=2FB，Rt△BFG为含30°角的直角三角形，则∠BFG=60。，结合折叠的性质可知，从而.于是EF=2AF=4.利用勾股定理可求出，故E点的坐標为又F点的坐标是（2，4），所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式，计算略.

点评：本题是矩形与一次函数的综合题，考查了矩形的性质，图形折叠的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质与判定等，综合性较强，

四 易错点评析

1.特殊代替一般

例7（2014年·徐州）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）.

A.矩形

B.等腰梯形

C.对角线相等的四边形

D.对角线互相垂直的四边形

错解：选A或选B.

解析：错解由三角形中位线的性质，认为顺次连接对角线相等的矩形或等腰梯形的各边中点所围成的四边形是菱形，从而选择A或B，犯了以特殊代替一般的错误.事实上，矩形或等腰梯形仅仅是对角线相等的四边形中的“特殊情况”，正确答案应选C.

2.思考问题不周

例9 （2014年·襄阳）在oABCD中，BC边上的高为.则平行四边形ABCD的周长等于______.

错解：如图7，在平行四边形ABCD中，AB=CD=5，4D=BC.设BC边上的高为AE在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，根据勾股定理得BE=3.同理得CE=2.故BC=BE+CE=5，的周长为2x（5+5）=20.

解析：本题是无图题，解题时应考虑周全，它相当于已知△ABC的两边AB和AC以及第三边BC上的高AE，求第三边BC的长度，因为三角形的高AE可在△ABC的内部，也可在△ABC的外部，所以应分两种情况讨论.

（1）若高AE在△ABC的内部，如图7，解法如上；

（2）若高AE在△ABC的外部，如图8，同理可得BE=3，CE=2，故BC=BE-CE=3-2=1，平行四边形ABCD的周长为2x（5+1）=12.

综上，可知平行四边形ABCD的周长为20或12.

点评：对于涉“高”问题，一定要注意高的位置的多种可能性.谨防漏解.