对角线在平行四边形中的应用

花得健

数学思想方法是分析、处理和解决数学问题的出发点，是对数学规律的理性认识，也是对数学知识的本质概括.数学思想方法有很多，如对应思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等.

平行四边形问题巾最常用的是转化思想，就是利用对角线把四边形转化成三角形以及平行线，再利用相关的知识来解决问题.下面，我们就谈谈平行四边形中对角线的应用.

例l 如图1.四边形ABCD是正方形.BE//Ac，AE=AC、CF//AE.试证明∠E=2∠BCF

分析：此题要证明两个角之间的关系，但这两个角似乎没有直接的联系.题中出现了一条对角线，如果再出现一条对角线的话就能显示一些特殊的边角关系了.

解：如圖2，过A作AH⊥AC交BE于H.连接BD，AC与BD交于O点，由A0=BO易证得四边形AHBO为正方形，所以

因AE=Ac，故又显然四边形AEFC为菱形，

点评：利用正方形的边和对角线的特殊性质，找到了解题的突破口，

例2 如图3，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6.过点A作AE⊥BC，垂足为E.求AE的长，

分析：连接BD，BD交AC于O.根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后根据勾股定理计算出BO的长.再根据面积关系即可得出答案.

解：略，

例3 如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3.H是AF的中点.求CH的长，

分析：CH与对角线AC，CF有关系，而已知条件中的正方形的边长也与对角线有关系，因此连接AC，CF根据正方形的性质可求出AC， CF而于是，然后利用勾股定理可求出AF再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得CH.

点评：此题利用正方形的对角线的特殊性质构造出了直角三角形.

在平行四边形的学习中，由于平行四边形的特殊性，我们在研究其性质的时候一般要从边、角、对角线三个方面人手.特别是对角线，更要特别关注，

练习：

1.如图5，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上.且DE=DF给出下列条件：①BE⊥EC；②BF//CE；③AB=AC.

请从中选择一个条件，使四边形BECF是菱形.你认为这个条件是____（填写序号）.

2.如图6，E是平行四边形ABCD中AB边的延长线上的一点.ED交BC于F.请在△CEF.△BEF，△DCF中，找出与△ABF面积相等的三角形，并说明理由.

参考答案：

1.③

2.提示：△BEF与△ABF同高，若面积相等必须AB=BE.显然这个是不一定的，△DCF与△ABF也是等高的，若面积相等必须BF=CF，这也不一定.连接BD.