高考解析几何得分秘诀谈

罗刚明

解析几何是高考考查的重点内容，以近3年全国卷I为例，不包括选做题每年都有两道小题和一道大题，分值共22分，加上选做题共32分. 高考中失分严重，非常可惜.其实解析几何题虽然难，但是如果我们深入研究其命题规律，掌握得分技巧，也能得高分.

基础知识的考查

主要以小题形式考查，属于中、低难度. 复习时应注重回归教材，除重视课本中圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质外，还要重视课本例题、习题、练习中对圆锥曲线的多种定义以及课本中补充材料对圆锥曲线性质的扩充.

1. 求圆锥曲线中[a，b，c，e，p，]焦点坐标、渐近线方程等基本几何量的问题

例1 已知[F]是双曲线[C]：[x2-my2=3m（m>0）]的一个焦点，则点[F]到[C]的一条渐近线的距离为（ ）

A. [3] B. [3]

C. [3m] D. [3m]

分析 将双曲线的方程化为标准方程，求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式可以求出点[F]到[C]的一条渐近线的距离.

解 将双曲线[C]化为标准方程[x23m-y23=1（m>0）]，

∴一个焦点[F]的坐标为[（3m+3，0）]，一条渐近线的方程为[x+my=0]，

∴焦点[F]到[C]的一条渐近线的距离为[3m+31+m=3].

答案 A

解读 本题型主要考查圆锥曲线的标准方程及圆锥曲线的几何性质，解决这类题型要熟练掌握圆锥曲线中[a，b，c，e，p，]焦点坐标、渐近线方程等基本几何量之间的关系，任意给出其中两个几何量都能求出其他几何量.

2. 圆锥曲线中与向量有关的问题

例2 已知[M（x0，y0）]是双曲线[C：x22-y2=1]上的一点，[F1，F2]是[C]上的两个焦点，若[MF1·MF2<0]，则[y0]的取值范围是（ ）

A. （-[33]，[33]） B. （-[36]，[36]）

C. （[-223]，[223]） D. （[-233]，[233]）

分析 将[MF1与MF2]的数量积用[M]的坐标表示，得到关于[y0]的不等式，从而解除[y0]的范围.

解 由题意知，[F1（-3，0），F2（3，0）]，点[M]在双曲线上，则[x202-y20=1.]

∴[MF1?MF2=（-3-x0，-y0）?（3-x0，-y0）]

[=x20+y20-3=3y20-1<0]，

解得[-33答案 A

解读 在解析几何中向量主要是起工具作用，用向量表示几何关系，通常情况是将向量用点的坐标来表示，得到关于点的坐标的方程或不等式，然后解方程或不等式.

综合应用能力的考查

求点的轨迹方程主要有：定义法、直接法、相关点法、参数法.直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用是对分析问题、解决问题、计算等综合能力的考查. 基本思路分两步：①将问题中要求解的几何量想办法用直线与圆锥曲线的交点坐标表示；②联立直线与圆锥曲线方程，将交点坐标用相关参数表示，得到问题中要求解的几何量与参数的关系，从而使问题得到解决. 其中联立直线与圆锥曲线得到的方程，有时解方程更易解决问题. 下列三种特殊情况可以直接解方程得交点坐标：①直线与圆锥曲线方程都不含参数；②直线与圆锥曲线有一个交点坐标已知；③直线过原点. 其他情况都用韦达定理.

1. 与弦长、弦的中点、三角形的面积相关的问题

例3 已知椭圆[E]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦点为[F（3，0）]，过点[F]的直线交椭圆[E]于[A]，[B]两点.若[AB]的中点坐标为[（1，-1）]，则[E]的方程为（ ）

A. [x245+y236=1] B. [x236+y227=1]

C. [x227+y218=1] D. [x218+y29=1]

分析 在圆锥曲线中与弦中点有关的问题用点差法比较简单.

解 设[A（x1y1），B（x2，y2）]，则[x1+x2=2，y1+y2=-2]，

[x21a2+y21b2=1]，① [x22a2+y22b2=1].②

①-②得，[（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0].

∴[kAB=y1-y2x1-x2=-b2（x1+x2）a2（y1+y2）=b2a2=12].

又 [a2-b2=c2=9]，解得[b2=9，a2=18]，

∴椭圆方程为[x218+y29=1].

答案 D

解读 解与圆锥曲线弦的中点有关的问题有两种方法：①点差法；②联立直线与圆锥曲线的方程用韦达定理.点差法相对简单，计算量小，但如果与范围有关则容易出错. 联立直线与圆锥曲线的方程用韦达定理方法，并且结合判别式容易求范围.

例4 已知圆[M]：[（x+1）2+y2=1]，圆[N]：[（x-1）2+y2][=9]，动圆[P]与圆[M]外切并与圆[N]内切，圆心[P]的轨迹为曲线[C].

（1）求[C]的方程；

（2）[l]是与圆[P]，圆[M]都相切的一条直线，[l]与曲线[C]交于[A]，[B]两点，当圆[P]的半径最长时，求[AB].

分析 （1）由动圆与两定圆相切可以列出动圆圆心[P]满足的条件，从而能判断[P]的轨迹是椭圆，然后求出椭圆的方程.（2）由[P]的轨迹容易判断圆[P]的半径最大值，由直线与两圆相切可以求出直线方程，根据弦长公式可以求出弦长.

解 由已知得圆[M]的圆心为[M（-1，0）]，半径[r1=1]；圆[N]的圆心为[N（1，0）]，半径[r2=3].

设圆[P]圆心为[P（x，y）]，半径为[R].

（1）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以[PM+PN=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为[3]的椭圆（左顶点除外），其方程为[x24+y23=1（x≠-2）.]

（2）对于曲线[C]上的任意一点[P（x，y）]，由于[PM-PN=2R-2≤2]，所以[R≤2.]

当且仅当圆[P]的圆心为[（2，0）]时，[R=2].

所以当圆[P]的半径最长时，其方程为[（x-2）2+y2=4.]

①若[l]的倾斜角为[90°]，则[l]与[y]轴重合，[AB=23.]

②若[l]的倾斜角不为[90°]，由[r1≠R]知[l]不平行于[x]轴，设[l]与[x]轴的交点为[Q]，

则[QPQM=RR1]，可求得[Q（-4，0）]，

所以可设[l]：[y=k（x+4）]，

则由[l]与圆[M]相切得[3k1+k2=1]，解得[k=±24].

当[k=24]时，将[y=24x+2]代入[x24+y23=1]，并整理得[7x2+8x-8=0.]

解得[x1，2=-4±627].

所以[AB=1+k2x2-x1=187.]

当[k=-24]，由图形的对称性可知，[AB=187].

综上，[AB=23]或[AB=187.]

解读 求点的轨迹方程主要有：定义法、直接法、相关点法、参数法.圆锥曲线中的弦长[AB=1+k2?x2-x1]或[AB=1+1k2?y2-y1]. 三角形的面积[S=12AB?d][=121+k2x1-x2?kx0-y0+b1+k2][=12x1-x2?kx0-y0+b].

2. 圆锥曲线中的定点、定值、范围与最值的问题

例5 已知点[A]（0，-2），椭圆[E]：[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]的离心率为[32]，[F]是椭圆的焦点，直线[AF]的斜率为[233]，[O]为坐标原点.

（1）求[E]的方程；

（2）设过点[A]的直线[l]与[E]相交于[P，Q]两点，当[△OPQ]的面积最大时，求[l]的方程.

分析 （1）由直线[AF]的斜率为[233]可以求出焦点[F]的横坐标[c]，由离心率为[32]可以求出[a]，从而得到椭圆的方程.（2）设直线[l：y=kx-2]，联立直线与椭圆方程，由[Δ>0]可以得到[k]的范围，将[△OPQ]的面积用[k]表示，求出面积最大时[k]的值.

解 （1）[x24+y2=1].

（2）当[l⊥x]轴时不合题意，故设[l：y=kx-2]，[P（x1，y1），Q（x2，y2）]，

将[y=kx-2]代入[x24+y2=1]得，

[（1+4k2）x2-16kx+12=0].

当[Δ=16（4k2-3）>0]，即[k2>34]时，

[x1，2=8k±24k2-34k2+1].

从而[|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1?4k2-34k2+1].

又点[O]到直线[PQ]的距离[d=2k2+1]，

所以[△OPQ]的面积[S△OPQ=12d?|PQ|=44k2-34k2+1].

设[4k2-3=t]，则[t>0]，[SΔOPQ=4tt2+4=4t+4t].

因为[t+4t≥4]，当且仅当[t=2]，即[k=±72]时等号成立，且满足[Δ>0].

所以当[△OPQ]的面积最大时，

[l]的方程为[y=72x-2]或[y=-72x-2].

解读 解圆锥曲线中的定点、定值、范围与最值的问题通常是将所求的几何量用一个变量来表示.如果在化简过程中变量自动约分或抵消，所求的几何量不含变量即为定点、定值.如果化简过后还含有变量，就将所求的几何量看成该变量的函数，从而可以求出所求的几何量的范围或最值.

3. 圆锥曲线中角相等的问题

例6 在直角坐标系[xOy]中，曲线[C：y=x24]与直线[l：y=kx+a（a>0）]交与[M，N]两点，

（1）当[k=0]时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）[y]轴上是否存在点[P]，使得当[k]变动时，总有[∠OPM=∠OPN]？说明理由.

分析 （1）解出直线与抛物线的交点，利用导数求出切线的斜率，从而得到切线方程. （2）由[∠OPM=∠OPN]可知[PM，PN]的斜率[k1，k2]相等，将[k1，k2]都用[P，M，N]的坐标表示，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系将M，N的坐标用k，a表示就能求出P的坐标.

解 （1）由题设可得[M（2a，a），N（-2a，a）]，

又[y=x2]，

①当[y=x24]在[x=2a]处的导数值为[a]，[C]在点[（2a，a）]处的切线方程为[y-a=a（x-2a）]，即[ax-y-a=0].

②当[y=x24]在[x=2a]处的导数值为[-a]，[C]在点[（-2a，a）]处的切线方程[y-a=-a（x+2a）]，即[ax+y+a=0].

故切线方程为[ax-y-a=0]和[ax+y+a=0].

（2）存在符合题意的点，证明如下.

设[P（0，b）]为符合题意的点，[M（x1，y1），N（x2，y2）]，直线[PM，PN]的斜率分别为[k1，k2]，

将[y=kx+a]代入[C]的方程得[x2-4kx-4a=0]，

故[x1+x2=4k，x1x2=-4a].

[∴k1+k2=y1-bx1+y2-bx2]

[=2kx1x2+（a-b）（x1+x2）x1x2][=k（a+b）a].

当[b=-a]时，有[k1+k2=0]，

则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，

故[∠OPM=∠OPN]，所以点[P（0，-a）]符合题意.

解读 求解析几何中角相等的问题通常有三种途径：①转化为直线的斜率互为相反数；②用向量来表示角；③用余弦定理.