Euler积分的探究与应用

张杰

摘 要：利用B函数和Γ函数的定义和一些性质， 方便计算某些三角函数积分和反常积分，用以说明Euler函数的优越性。Γ函数和B函数最早由Euler引入，它作为一种特殊函数， 具备了丰富和优美的特征， 在数学的许多分支以及物理、工程等学科中都起着重要的作用。本文通过一些实例， 说明它的一些应用，对比出其优势，旨在抛砖引玉。

关键词：Euler积分；Γ函数；B函数

一、Euler积分[1]

含参量积分Γ（s）=∫xs-1 e-xdx（s>

0）。

B（p，q）=∫xp-1 （1-x）q-1dx（p>

0，q>0）。

在应用中经常出现，统称为Euler积分，分别称为Γ-函数与B-函数。

1.Γ-函数

（1）Γ（s）在定义域s>0内连续且可导。

（2）递推公式 Γ（s=1）=sΓ（s）=

Γ（s）=（s-1）（s-2）…（s-n）Γ（s-n），

n∫e-xdx=1。

Γ（n+1）=n！

由于Γ（s）=—以及

Γ（1）=1，所以limΓ（s）=+∞。

（3）余元公式[2]。Γ（p）Γ（1-p）=

—（0