直线与圆的位置关系题型分析

朱大志

题型一：直线和圆相切问题

例1 自点A（-3，3）发出的光线ι射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：相切，求光线ι所在直线的方程。

解析：圆关于x轴对称的圆C'的方程为其圆心为C'（2，-2）。

由题意得ι与圆C'相切。

易得直线ι的斜率存在。

设ι：y-3=k（x+3）。

由ι与圆C'相切，得

整理得

解得

故光线ι所在直线的方程为或，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=O。

题型二：直线和圆相交问题

例2 已知直线ι过点（-2，0），当直线ι与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）。

解析：将化为，则该圆的圆心为（1，0），半径为r=l。

由题意得直线ι的方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0。

设圆心（1，O）到直线ι的距离为d。

由直线ι与圆有两个交点，得d<

解得。应选c。

题型三：“设而不求”技巧的应用

例3 已知圆和直线交于P、Q两点，且OP⊥OQ（0为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径。

解析：将x=3-2y代人方程m-0中，得

设点P（x1，y1）、Q（X2，y2），则

由，得

由OP⊥OQ，得，即，即9-6×4+（m+12）=0。解得m-3。

当m=3时，方程的判别式△>0，则m=3满足题意，此时圆心坐标为，半径为

题型四：弦长的计算及应用

例4 已知直线ax+by+c=0与圆0相交于A、B两点，且，则=____。

解析：如图1，OC⊥AB。

在Rt△OAC中，AC=，OA=1，则∠AOC=60°故∠AOB=120°应填。

题型五：直线与圆的平移问题

例5 将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数λ的值为（）。

A.-3或7

B.-2或8

C.O或10

D.1或11

解析：直线2x-y+λ=O沿x轴向左平移1个单位后，所得直线ι的方程为：2（x+1）-y+λ=0。

已知圆的圆心为（-l，2），半径为

由直线ι与圆相切，得圆心（-l，2）到直线ι的距离等于圆的半径，即：

解得λ=-3或λ=7。应选A。

题型六：直线与圆的综合问题

例6 已知直线

（l）求证：对任意m∈R，ι1与ι2的交点P在一个定圆上。

（2）若ι1与定圆的另一个交点为P1，ι2与定圆的另一个交点为P2，当m在实数范围内取值时，求的面积的最大值及对应的m。

解析：（1）ι1与ι2分别过定点A（O，O）、B（2，1），且互相垂直，则ι1与ι2的交点必在以AB为直径的圆上。

以AB为直径的圆的圆心为，半径为则所求定圆为，即

（2）由（l）得P1（O，O）、P2（2，1）。

设定圆的半径为r。