高等数学中的哲学思想及其在独立学院教学中的应用

魏玲　段绵俊　吴志斌

[摘 要]高等数学中蕴含着丰富而深奥的哲学思想，如有限与无限、量变与质变、特殊与一般等。针对独立学院的培养目标和学生的特点，教学中除了从数学的角度讲清楚基本的知识和方法，还需要从哲学的角度进行适度的辩证与剖析，使学生深刻理解其实质，把握其精髓，增强学生运用数学思维及数学方法分析问题和解决问题的能力。

[关键词]高等数学 哲学思想 独立学院 教学

[中图分类号] G255.75 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2015）09-0133-02

马克思主义哲学是科学的世界观和方法论的统一，是研究自然科学的理论基础，它为人们的实践活动提供了具有普遍意义的工作方法和思维方法。高等数学蕴含着丰富而深奥的哲学思想，如：高等数学中的有限与无限之间的关系、量变与质变的关系、特殊与一般的关系等。辩证唯物主义思想所认为的事物之间对立统一的关系在高等数学的各个部分都有体现。

由于独立学院的办学宗旨是培养本科应用型创新人才，且生源质量不同于一本、二本，学生的学习情况总体表现较差，主要表现在学生知识的系统性较差，偏科的现象较严重，对部分科目，尤其是数学，有比较明显的抵触情绪。所以独立学院高等数学这门课的教学必须根据学校的培养目标和学生的实际学习能力进行改革，建立“学术性、研究型”的精英教育模式，课堂教学应以“适用、实用”为原则，明确学生的知识结构侧重通识而非精深，专业素养侧重适用而非前沿，课堂教学侧重实用而非理论证明。对于高等数学这门课程的教学，如果我们能够重视学生数学思想的培养，将哲学思想融入教学中，不但能够培养学生的数学学习兴趣，提高学习效率，而且能够加强学生的辩证思维，提高学生解决实际问题的能力。

一、教学中的有限与无限、量变与质变的思想及应用

从哲学上看，有限和无限是一对矛盾的统一体，二者既联系又对立。无限是有限的发展，无限是由有限组成的。从量变与质变的角度来看，有限的变化实际上是一个量变的过程，是质变的必要准备。当变化无限发展，量变超出了度的范围，于是就引起质的变化，所以质变是量变的必然结果。

高等数学与初等数学的显著区别在于引入了极限的概念。极限是一种研究变量变化趋势的数学思想，它是变量无限地向有限目标的逼近而产生量变到质变的转化。极限的思想贯穿于高等数学的始终，说明有限与无限、量变与质变的哲学思想也贯穿于高等数学的始终，所以数学的本质其实就是哲学。

【例1】级数收敛的定义（有限与无限）。

我们知道，直接研究无穷多项的和是非常困难的，所以在上述定义中，我们先求出有限的前n项和，再通过让n→∞求极限，最后得到无穷多项的和的情况。

根据有限与无限的对立统一关系，人们可以从有限认识无限，从已知认识未知。这些抽象的哲学辩证观念，都可以从科学概念中提升，并用科学概念具体解释，以达到洞察事物本质的目的。

【例2】数列的极限（量变与质变）。

高等数学中充满了从量变到质变，而后又从质变引起新的量变的思想。质量互变的思想对学习方法的指导具有很重要的现实意义。学生学习首先要有量的积累，才会有质的飞跃。独立学院学生的基础相对薄弱，接受能力也比较慢，所以做练习在独立学院高等数学课程的教学中是一个相当重要的环节。教师需要引导学生在不断的练习中归纳总结，从而帮助学生改善学习效果。

二、教学中具体与抽象、特殊与一般的思想及其应用

数学是一门认识世界数量关系和组合形式及方法的科学。然而我们面对的世界是一个复杂的世界，具体性与抽象性、普遍性与特殊性、个性与共性同时存在。在高等数学的教学过程中，我们不难发现，很多概念与原理的发展都是通过对特殊例子的详细分析，形成一定的抽象，从而得出相关的数学概念和运算公式。

【例3】高阶导数公式的推导（特殊到一般）。

在认识世界的过程中，我们解决问题的常用方式一般是由浅入深、由易到难。独立学院高等数学的教学过程中，教师应该特别注意在课堂上引导学生学会将抽象的概念具体化，将复杂的运算公式简单化，帮助学生掌握规律，使学生较为容易地理解所学的数学概念和运算公式，从而达到增强学习兴趣的目的。

三、教学中对立统一的思想及其应用

对立统一是矛盾的两个根本属性，人类社会的万事万物，无一不是以矛盾的统一体的形式存在。微积分定量地反映了事物的对立统一规律，如有限与无限、质变与量变、直线与曲线、常量与变量、连续与间断、平均与边际、无穷小与无穷大、运算与逆运算等，这些规律都反映了事物的普遍联系。

【例4】以直代曲。

在讲授《函数的微分及其应用》这部分内容时，我们会得到一个近似关系式：f（x）≈f（x0）+f ′（x0）（x-x0），（x-x0充分小），式子的左边是曲线，右边是直线。

一条曲线从很小的局部来看是近似于直线的，而且越小的部分越是近似直线。曲与直是对立的，但微积分抓住了它们的联系，实现了二者的统一。这就是“无限细分，以直代曲”的思想。

【例5】微积分基本公式。

微积分里两个最重要的、灵魂的概念——导数与积分体现的就是矛盾的对立统一。导数与积分是两个对立的概念。导数的本质是变化率，所以它是一个瞬间量；而积分的本质是无限累加，故它是一个总量。而且从运算上来看，两者也是互逆的。但是这两个概念却经微积分基本公式而产生了必然的联系。微积分基本公式又叫做牛顿-莱布尼兹公式，是瞬间量与总量的对立统一。

求导和求积分是高等数学中两个非常重要的运算。从微积分基本公式的教学过程中来看，求导是求积分的基础，我们正是利用导数和积分互为逆运算的关系，利用两者的对立统一关系来解决定积分的计算问题。所以，教师在讲授微分学部分的知识时，要特别注意向学生强调求导公式的重要性，要求学生熟练、记忆公式，从而为积分学部分的学习打好基础。

四、教学中因果关系的思想及其应用

原因和结果是揭示客观世界中普遍联系着的事物具有先后相继、彼此制约的一对范畴。原因是指引一定现象的现象，结果是指由原因的作用而引起的现象。高等数学课程的教学过程中，很多题目都需要教师引导学生分析问题的因果，由果溯因，由因及果，从而找到解决问题的办法。

【例6】“微分方程”部分的一道典型例题：

第一步：由果溯因。很多学生看到这样的题目会束手无策，因为题目中有个“死循环”：我们必须求出右端的积分才能得到？渍（x）的表达式，而积分式的被积函数中又包含未知函数？渍（u）。所以想通过求积分式得到？渍（x）的表达式显然是行不通的。这是结果。我们要引导学生分析导致这个结果的原因是什么。学生很快就会发现，是因为右端积分式根本求不出来。那么我们就要避免求积分，或者说，要去掉积分号。

第二步：由因及果。找到问题的原因之后，我们接下来要寻求问题的结果。求导和求积分是互逆的，所以我们可以通过求导的方法去掉右端的积分号，注意到？渍（x）的连续性保证了右端积分式的可导性，从而也就保证了？渍（x）的可导性。两端同时对x求导：？渍′（x）=ex-x？渍（x），并且令题目中的x=0，可得？渍（0）=1。到这一步，学生就会发现，这其实就是大家非常熟悉的带初值的一阶线性微分方程，直接求解就可以了。从整道题的分析过程来看，哲学中因果关系的思想给了我们很大的帮助。当学生发现原来哲学思想也可以用来解决数学问题，我们的课堂就会变得生动有趣。

总之，数学的本质是哲学。在高等数学教学中，教师应当充分展现和运用这些哲学思想，使之成为一种培养学生数学素养的有效方法。

[责任编辑：钟伟芳]