椭圆的对称性在解题中的应用

卜以军

椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，这是椭圆的一个简单但很重要的性质.因为它的简单而常常被老师和学生们轻视.其实，在解题过程中，利用椭圆的对称性有时可以使问题迅速得到解决，在高考中也有很多与椭圆对称性有关的经典试题.因此，我们有必要对椭圆的对称性以及它在解题中的作用进行深入的研究.1利用椭圆的对称性求弦长

例1已知直线y=3x+2被椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（填上直线的代号）

①y=3x-2；②y=3x+1；③y=-3x-2；④y=-3x+2；⑤y=-3x.

分析用弦长公式解决这个问题费时费力，完全没有认清问题的本质.作出椭圆和有关直线（图略），由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而①③④中的直线与直线y=3x+2或关于坐标轴对称，或关于原点对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，又从图中看出，②⑤中的直线被椭圆截得的弦长都大于8，故应选①③④.2利用椭圆的对称性求最值

例2过原点的直线与椭圆x24+y2=1交于A，B两点，F是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值为.