正弦定理教学设计

翁丹琪 谢陈祎奔

一、学习内容分析

本课选自《普通高中课程标准试验教科书·数学必修5》（人教A版）。正弦定理是高中数学重要内容之一，是在学生学习了三角等知识之后，对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，起到承上启下的作用，因而定理本身的应用又十分广泛。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索，感受数学思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

二、学习者分析

学生已经学习过平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析，解决问题的能力，但对前后知识间联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。

三、教学重点难点

重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

难点：1.正弦定理的发现与证明过程；2.已知两角和一边，两边以及其中一边对角解三角形

四、教学目标

1.知识与技能：通过对锐角三角形中边与角关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。

2.过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般，合情推理的方法发现并证明正弦定理。

3.情感态度与价值观：培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于探索、勇于创新的精神。

五、教学过程

（一）复习旧知，导入新课

问题一：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？

师生活动：教师引导学生思考从初中所学的知识引出边和角之间的量化关系。

（二）探索新知

问题二：由于我们不容易直接得到一般三角形中边和角的关系，所以，我们先考虑直角三角形这种特殊情形。

师生活动：教师引导学生从特殊三角形直角三角形出发观察思考直角三角形有什么边与角的关系，学生结合图形得到它们的关系。

教师归纳：

在Rt△ABC中，∠C是最大的角，所对的斜边c是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数，根据正弦函数的定义：

板书：ac=sinA，bc=sinB。所以asinA=bsinB=c.又sinC=1，所以 asinA=bsinB=csinC。

问题三：那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？

师生活动：教师引导学生将直角三角形的结论应用到一般三角形的情况，学生分类讨论对于锐角三角形和钝角三角形以上式子是否成立。

教师归纳：

如图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义：

板书：CD=asinB，CD=bsinA，所以asinB=bsinA，得到asinA=bsinB.

同理，在△ABC中， bsinB=csinC.

同理得到钝角三角形的证明。

教师归纳：从上面的讨论和探究得到以下定理。

板书：

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：asinA=bsinB=csinC.

问题四：是否可以用其他方法证明正弦定理？

师生活动：教师引导学生展开思考，结合之前学过的各种知识得出正弦定理。

（三）剖析定理，加深理解

板书：

解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

问题五：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

师生活动：教师设计两个例题，引导学生得出①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角；②已知两角和一边，求其他角和边。

（四）课堂练习，巩固提高

例1、已知a=16，b=163，A=30°，解三角形。

例2、在△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，解三角形。

师生活动：学生

（五）复习小结，深化内涵

问题6：这节课你学到了什么？

师生活动：教师鼓励学生积极回答，请学生小结学习了本节课有什么收获，其他同学进行补充，然后教师根据学生回答进行概括补充。

教师归纳：

主要内容有：

（1）正弦定理：asinA=bsinB=csinC

（2）正弦定理应用范围：

①已知两角和任意边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

（六）课后思考

问题六：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角时，三角形在什么情况下有一解，二解，无解？

师生活动：学生课后思考。