论数学教学中的类比方法

陈千金

摘 要：类比推理作为一种极其重要的数学研究方法，利用它可以由两个或几个具有一定程度的一般性的判断过渡到具有同样程度的一般性的判断。在数学教学中教师应善于引导学生如何应用类比推理解答习题，培养学生养成自觉地应用类比以寻求难题的解法的习惯，并自觉避免与应用类比有关的错误。

关键词：类批；推理；判断；应用

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）07-072-02

关系推理作为一种研究方法，它的意思是在确定两个对象有某一关系相同以后，可以得出这两个对象在另一关系上也相同。关系推理的一种最重要的形式是类比。可以说，类比是科学研究的最普遍的方法之一。广泛应用类比，往往会使研究人员对于所研究的对象的性质作出近似程度或大或小的设想，然后再通过实验或更严格的推理肯定或否定这种设想。

一、数学中类批推理的重要意义

关系推理是极其重要的一种推理，利用它可以由两个或几个具有一定程度的一般性的判断过渡到具有同样程度的一般性的判断。

例如，设a，b和c是三个实数，

a>b（第一个判断），

b>c（第二個判断），

a>c（新判断）。

在进行类比推理时，从讨论一个对象模型得到的知识，可以移到另一个在某一种意义上较少研究的（不容易研究的，不太直观的，等等）对象上。对于具体对象来说，由类比得到的结论，一般仅具有或然的性质。这种结论是科学假设和归纳推理的一个来源，在科学发现方面具有重要的作用。

同构是最深刻的一种类比，由它可以导出完全可靠的结论。如果我们确定两组或几组对象同构，那么我们可以把对于一组成立的任一语句移到另一组对象上去。在这种情况下，只要仔细地研究了一组对象，那么与它同构的一组对象就不必再进行这种研究。一个明显的例子是解析几何，它将对几何图形及其性质的研究，归结为对包含数值对象的一定的解析关系式的研究。

类比分为以下两种：

1、简单类比：从对象的某些属性相同推出它们的其他属性相同；

2、普遍类比：从现象的相同可以得出原因相同的结论。

另一方面，简单类比和普遍类比又可以分为：

3、严格类比。被比较的对象的属性处于互相依存的状态；

4、不严格类比：被比较的对象的属性不处于明显的互相依存的状态。

二、数学教学中类比推理的应用

在数学教学中广泛应用类比，是一种极有成效的方法，它能使学生对所学科目发生兴趣，促进他们参与研究性的活动。此外，广泛应用类比还可能使学生更容易掌握学习的内容，学得更扎实，因为这样会有利于在思维中将一定的知识和技能的系统从已知的对象转移到未知的对象上去（顺便指出一点，这样还可以促进知识的现实化）。

因此，在应用类比法方面做一些经过特殊选择的练习是有益处的，例如：（1）“如果一个三角形的各个角均合同，那么它的三边也合同。”这个论断对吗？对于六边形叙述一个类似的语句。它成立吗？（2）“正三角形内（或边上）一点到各边的距离的和是一个常量。”这个论断对吗？对于任一多边形叙述一个类似的语句。验证这个语句是否成立。

培养学生养成自觉地应用类比以寻求难题的解法的习惯，是大有益处的。这时，可以向他们提出如下的一般解题计划。

1、选择一个和要求解的问题相似的问题，它和要求解的问题有相似的条件和结论；辅助问题应当比要求解的问题简单，或者是已经解决过的题目。

2、解答辅助题目；然后用类比推理以解答要求解的问题。

例如，在解答立体几何问题时，最好注意与平面几何问题作类比。为了使学生能较好地掌握这种解题方法，最好在适当的时候向学生提出一些用归纳法便于解答的问题。在开始这样作时，最好向学生提出两个或者更多（而不是一个）内容互相联系的问题，同时叙述其中每一个问题的条件。例如：a）用等边三角形的高表示它的内切圆的半径；b）用正四面体的高表示它的内切球的半径。

三、类比推理在数学中的错误应用

这里，有必要说明什么是“有益的”类比，什么是“有害的”类比。将平面几何的许多概念和判断从思想上移到三维空间的几何，就是“有益的类比”的一个例子。例如，“长方形类似于长方体。”实际上，长方形各边之间的关系同长方体的各棱之间的关系就很相似：

长方形的每一边同另一边平行和相等，而同其余两边垂直。

长方体的每一条棱同另一条棱平行和相等，而同其余一些垂直”。

我们注意到，长方形的面积和长方体的体积之间也存在着很明显的类比关系。同时这种类比关系表现在许多方面，从公式S=a·b和V=a·b·c的形式直接推导这个公式的结构（按长方形和长方体的边长或棱长可以表示成自然数、正有理数和实数三种情况依次加以证明）都很相似。

数学教师应当了解随便应用类比会产生哪一些典型的错误。学生往往会自发地采用这种“有害的”（错误的）类比，而且学生本人甚至教师有时还弄不清楚为什么会产生这种错误（当然也就不可能纠正错误）。在教学教学过程中，不仅教师本人应当借用有益的类比，而且应当要求学生能使用类比的方法进行推理。这时，学生应当懂得，由类比得出的结论必须加以论证，因为不能排除得出错误结论的情况。

例如下面几例常见的错误运用类比的情形：

1、由众所周知的被3和9整除的特征，类似地可以叙述也许成立的被27整除的特征：“如果一个数的数字和能被27整除，那么这个数本身也能被27整除”。但是这相论断是不正确的；

2、将众所周知的有限和的加法法则硬搬到无限和的情况，可以作为“有害的”类比的一例。数学中有限和无限之间非常深刻的本质区别，使得它们所具有的相似的性质的数目大为减少。

3、由于数的加法和乘法的性质有许多相同点，有时学生会将这两种运算的相似性质错误地类推到其他性质上去。例如：在作分数时，学生会错误地同约去公因式作类比，而约去分式中分母和分母相同的一个加数。

4、由于平面几何和立体几何的的许多概念和命题之间有很多相似的地方，学生往往会将一种几何的概念和命题搬到另一种几何中去，因而出现错误的情况。例如，“过空间已知直线上的一点，只能作一条直线垂直已知的直线，”“垂直于空间同一直线的两条直线，一定互相平行，”“垂直于同一平面的两个平面，一定互相平行，”等等。

显然，教师应当及时向学生指出他们所出现的各种错误，让他们注意不要作错误的类比。