横看成岭侧成峰——一道高考题的多视角解法

☉江苏省灌云高级中学 潘益琪

横看成岭侧成峰
——一道高考题的多视角解法

☉江苏省灌云高级中学 潘益琪

2015年重庆高考文科第14题以无理函数最值为载体，融函数、等价化归等基本思想于一体，注重综合考查学生的观察、分析、猜想、推理论证等基本数学能力，对学生的思维能力提出了较高的要求，是一道具有潜在价值的好题.本文拟对此试题从多个视角作些探析，供读者参考.

利用不等式求最值是不等式运用的一个重要方面，在用不等式求函数的最值时，往往需要配合一定的变形技巧，才可以把问题转化为求不等式的问题.解法1的核心是利用算数平均数不大于平方平均数；解法2的核心是利用几何平均数不大于算数平均数；解法3的核心是利用几何平均数不大于平方平均数.

利用三角换元也是解决最值问题的常用手段，这启示我们在解题方法上不能墨守成规，应因地制宜选择最佳解题方法，培养思维的敏捷性和灵活性.

图1

视角三：几何视角

灵活运用勾股定理的逆定理，构造直角三角形的三边，运用正弦定理求相应的范围.

根据式子结构特征“为数配形”，通过构造点到直线的距离的解析几何方法，体现出形与数的内在联系.

解法7：线性规划法，由a+b=5，可得（a+1）+（b+3）=问题就转化成约束件为目标函数为z= x+y，如图2所示，可行域为线l0：x+y=0往上平移，直到与（相切时的P点就为最优解，容易求点的切线方程为

图2

通过换元，构造圆，利用圆与直线有公共点解题，揭示了代数问题的本质，本解法需要方程思想、数形结合思想和化归意识，化静为动，动中求静.

视角五：函数视角

通过代入消元转化为一元函数，再运用求导找出相应最值.尽管此题的导数解法与上述几种解法相比显得不简便，但作为“通法”，思路清晰，学生容易接受.

视角六：方程视角

此种方法采用消去其中一个元，同时引入一个元，然后用主元法，将其中一个视为主变量.

视角七：数列视角

本解法可谓构思巧妙、奇特，视角新颖，悦从心涌.

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，本题虽是一道填空小题，但题面精巧、背景清晰、内涵丰富，且入口较宽、解法灵活，耐人寻味.通过多角度的切入，多方位的探究，沟通了不等式、函数、方程、导数、三角、向量、数列、几何等知识的内在联系，使它们有机地、密切地配合起来，从而总结出解题规律，探求出解题方法.本题可以多方面地检测学生的基础知识、基本技能和基本数学思想的掌握情况，并能有效地考查学生思维的灵活性和敏捷性，是值得深究的一道好题.在平时教学中，经常与学生共享这类好题的思维探究和解法形成，对训练学生数学思维的广阔性、敏捷性、灵活性和深刻性是大有益处的.F