例说教材中的“可以证明”如何证明

耿建

摘 要：教材中有些规律的给出只是在一些铺垫的基础上提出“可以证明”“实验表明”“理论计算表明”等。对于这些“可以证明”的内容，教师必须知其所以然。本文从选修3-1、3-2中选择了四处进行了证明。

关键词：电场强度；电势能；电容器极板间电势差；交变电流有效值

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）3-0042-3

教材中有些规律的给出，没有给出严格的证明，只是在一些铺垫的基础上提出 “可以证明”“实验表明”“理论计算表明”等。对于这些“可以证明”的内容，我们教师必须知其所以然，有些也可以在条件允许的情况下证明给学生知晓。

1 均匀带电球体（或球壳）产生的外部电场与位于球心的带等电量点电荷产生的电场相同

此处，带电球壳的电场可以分两步来证明。

①通过包围点电荷的同心球面的电通量都等于4πkQ。

②均匀带电球壳内外的电场强度，设球壳半径为R，带电总量为Q。

由于电荷均匀分布在球壳上，所以，带电体具有球对称性，电场的分布也具有对称性。即在任何与带电球壳同心的球面上各点场强大小均应相等，方向沿半径向外呈辐射状。

根据电场的球对称性特点，取以球壳球心为中心、半径为r的球面为高斯面，此高斯面上场强的大小处处相等，设为E，方向均沿半径方向向外，则通过此高斯面的电通量为：

同一高斯面上的电通量应该相等，则根据上述的①和②可以得到以下结论：

若高斯面半径r小于球壳半径R，则高斯面包围的范围内电荷量为0，则4πr2E=0，即球壳内任一位置的电场强度为0；

2 非匀强电场中电场力做的功与电荷经过的路径无关

选修3-1第一章第4节《电势能和电势》中，在证明了匀强电场中移动电荷时，静电力做的功与电荷经过的路径无关后，接着说“这个结论虽然是从匀强电场中推导出来的，但是可以证明，对于非匀强电场也是适用的。”

一般情况下，非匀强电场可以是由单个点电荷形成的，也可以是由多个点电荷的电场叠加而成的。只要证明了单个点电荷的电场中静电力做功与路径无关，就可以说明任意电场中静电力做的功与电荷经过的路径无关这一结论。

如图2，设静止的点电荷+q位于O点，设想一试探电荷q0沿任意路径L从P点移动到Q点。因为试探电荷在移动过程中受到的电场力是变化的，不妨将路径L分割成无限多的微元dl，在每一微元dl中静电力可近似认为不变。设距点电荷+q为r的K处的微元dl与该处的静电力F方向夹角为θ，则在该微元中静电力做功为：

dW=Fcosθdl

如图2，以O点为圆心作过图中点M的圆弧，交OK延长线于N，则ΔKMN近似看做一个直角三角形，设沿电场方向的微小量KN=dr，则：

dW=Fcosθdl=Fdr。

其中，rP=OP，rQ=OQ。可见，单个点电荷的电场中，电场力对试探电荷所做的功与路径无关，仅和试探电荷移动路径的起点、终点位置有关。

3 充电后电容器两极板的电势差与极板的电量有关

这可以借助于传感器进行实验证明。

如图3连接电路，单刀双掷开关先接稳压电源对电容器进行充电，充电完毕后再接到电阻R上，电容器通过电阻R进行放电。通过电流传感器可以记录电容器的放电电流随时间的变化规律，即i-t图像。在i-t图像中利用图线与坐标轴围成的面积可以求出电容器的带电量。

对同一电容器先后进行了两次充放电实验。第一次的充电电压是16 V，第二次的充电电压是10 V。两次放电过程的i-t图像如图4中的图线1和图线2。

在i-t图像的背景上画上方格子，使竖直方向每一小格代表0.005 A，水平方向每一小格代表0.2 s，则每一小方格的面积数值上等于q=0.005×0.2 C=1.0×10-3 C的电荷量。用此方法分别粗略地计算出电容器的带电量。图5是充电电压为16 V的放电过程，图6是充电电压为10 V的放电过程。具体的数据见“电容器两次充放电情况统计对照表”（如表1）。

因为传感器是每隔一定时间采集一个数据，所以得到的i-t图线是不平滑的。电容器带电量是将i-t图线拟合成平滑的曲线后再计算的，存在误差。单刀双掷开关由电容器充电状态转换到放电状态，电容器开始放电的时刻与传感器记录放电过程的起始时刻不一定同步，也存在误差。除了这两个主要误差原因外，实验及数据的处理中还存在一些偶然误差因素。可见，在实验误差的范围之内，同一电容器的带电量与电压的比值是一定的。

4 正弦式交变电流的有效值计算

选修3-2第五章第2节《描述交变电流的物理量》中，谈及正弦交变电流的有效值时，教材中表述说：理论计算表明，正弦式交变电流的有效值I、U与峰值Im、Um之间有如下关系：

并且强调说“这两个关系式只对正弦式电流成立”。

现以电流强度的有效值为例。理论计算如下：

设正弦交变电流瞬时表达式为：i=Imsinωt。

若该电流加在某一定值电阻R上，设该交变电流的有效值为I，则根据电流有效值的定义，在一个周期T内该交流电在电阻R上产生的焦耳热Q为：Q=I2RT。

因为正弦交变电流随时间在变化，在极短的时间内，可近似认为电流强度不变，则在一个周期内，在电阻R上产生的焦耳热的积分表达式为：

以上四个例子的“证明”过程需要借助于高等数学、大学物理的相关知识，或者需要一定的实验技能。这些也是中学物理教师比较欠缺的知识与能力，要能自如地驾驭中学物理教学，仅仅停留在中学物理知识的层面是不够的。

参考文献：

[1]赵凯华，陈熙谋.电磁学（上）[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]杨梅芬，李维兵.正弦式交变电流有效值的两种推导方法[J].物理教学探讨，2011，（4）：50.

（栏目编辑 罗琬华）