严格伪不变单调准则

任亚萍

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331)

严格伪不变单调准则

任亚萍

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331)

在η关于第一变量仿射且是skew函数条件下，推出了严格伪不变单调与强伪不变凸之间的关系.

广义不变凸函数;广义不变凸单调;仿射

不变凸函数和不变凸单调是研究广义凸性的重要组成部分，文献［1－3］研究了关于广义不变凸与不变凸单调;文献［2］中指出文献［1］中的一些必要条件是错的，并在条件C下改正其结论;文献［4］中将条件C用η关于第一变量仿射且是skew函数的条件所代替，建立了(严)伪不变凸单调和拟不变凸单调的必要条件.此处在η关于第一变量仿射且是skew函数条件下，推出严格伪不变单调与强伪不变凸之间的关系.

1 预备知识

定义1［1］设Γ⊆Rn是开集，函数F:Γ⊆Rn→Rn映射，若∃η:Γ×Γ→Rn使得∀x，y∈Γ，x≠y，有

则称F是严格伪不变单调函数.

定义2［2］函数θ:Γ⊆Rn→R可微，若存在函数η:Γ×Γ→Rn，∃α＞0使得∀x，y∈Rn，有

则称θ是强伪不变凸函数.

定义3［5］设X和Y是实向量空间，若函数φ:X→Y的映射，有

其中∀x，y∈X且∀λ，μ∈R，则称φ是线性函数.

定义4［6］设Γ⊆Rn是凸集，若函数φ:Γ⊆Rn→Rn的映射，有

其中∀x，y∈X且∀λ∈(0，1)，则称φ是仿射函数.

定义5［1］设函数η:Γ×Γ→Rn的映射，若η(x，y)＋η(y，x)＝0，∀x，y∈Γ⊆Rn，则称η为skew函数.

引理1［4］设集合Γ是集合Rn中的凸子集且η:Γ×Γ→Rn是向量函数.若η是关于第一变量仿射且是skew函数，则η也是关于第二变量仿射.

2 主要结果

定理1设集合Γ是集合Rn中的开凸子集.假设

(i)▽θ:Rn→Rn是关于函数η:Γ×Γ→Rn的严格伪不变单调;

(ii)η关于第一变量仿射且是skew函数;

(iii)对∀x，y∈Γ且∃α＞0，有

证明设x，y∈Γ，有

需要证明，∃α＞0，有

反证法，假设∃α＞0，有

由条件(iii)知

由式(4)与条件(i)知

由(ii)和引理1知，η对于第二变量是仿射的，则由式(5)知，∃α＞0，有

由假设η是skew函数，有η(x，x)t＝0，所以由式(6)和0＜＜1，有

又由η是skew函数，有

由式(7)和式(1)矛盾，则∃α＞0，有

［1］RUIZ－GARZON G，OSUNA－GOMEZ R，RUFIAN－LIZANA A.Generalized Invex Monotonicity［J］.European Journal of Operational Research，2003(144):501－512

［2］YANG X M，YANG X Q，TEO K L.Griteria for Generalized Invex Monotonicities［J］.European Journal of Operational Research，2005(164):115－119

［3］YANG X M，YANG X Q，TEO K L.Generalized Invexity and Invariant Monotonicity［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2003(117):607－625

［4］PENG J W.Criteria for Generalized Invex Monotonicities without Condition C［J］.European Journal of Operational Research，2006 (170):667－671

［5］RUDIN W.Functional Analysis［M］.New York:McGraw－Hill，1991

［6］AUBIN J P.Optima and Equilibria—an Introduction to Nonlinear Analysis［M］.Berlin:Springer－Verlag，1993

Criterion for Strictly Pseudo－invex Monotonicity

REN Ya-ping

(School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 400067，China)

In this paper，under the condition that η is affine in the first argument and is skew function，the relation between strictly pseudo－invex monotonicity and strongly pseudo－invexity is generalized.

generalized invex function;generalized invex monotonicity;affine

O177

A

1672－058X(2015)01－0011－02

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0001.003

责任编辑:李翠薇

2014－04－25;

2014－05－29.

任亚萍(1988－)，女，辽宁省铁岭人，硕士，从事应用数学研究.