采用组合质量-弹簧模型的快堆卧式贮钠罐晃动分析

李 楠，韩 治

（1.中国原子能科学研究院快堆研究设计所，北京 102413；2.环境保护部核与辐射安全中心，北京 100088）

采用组合质量-弹簧模型的快堆卧式贮钠罐晃动分析

李 楠1，韩 治2，＊

（1.中国原子能科学研究院快堆研究设计所，北京 102413；2.环境保护部核与辐射安全中心，北京 100088）

在核电工程中广泛使用各类形式的储液容器，储液容器的抗震分析必须考虑液体晃动的影响。针对矩形储液容器，不同于传统的单向质量-弹簧模型将液体晃动对容器侧壁、底部的作用都等效为对侧壁的作用，本文提出一种组合质量-弹簧模型及计算公式，模拟了液体晃动分别对容器的侧壁、底部的作用。组合质量-弹簧模型在三维有限元模型上的加载位置更加合理，容器底部的应力结果更加真实。利用组合质量-弹簧模型对中国实验快堆的卧式贮钠罐进行横向晃动有限元计算，算例表明了计算结果的可靠性。组合质量-弹簧模型为储液容器的有限元抗震分析提供了一种有效的方法。

晃动；组合质量-弹簧模型；中国实验快堆；贮钠罐

核电厂采用的储液容器大多为形状规则的具有对称性的壳体结构，且内部构件对液体晃动的影响可忽略不计。这种情况下，采用质量-弹簧模型来分析地震中储液容器自由液面晃动问题是足够满足工程需要的。

1957年，Housner［1］建立了一种等效力学方法，在此基础上许多学者针对工程中各种储液容器的抗震问题，将Housner模型进一步发展，得到令人满意的结果［2－7］。文献［4，7］采用Housner模型，将质量-弹簧模型应用在三维有限元模型上，模拟地震中液体晃动对立式圆柱容器的影响，计算结果表明Housner模型应用在三维有限元模型上是可行的，且所得到的三维模型的应力结果更为直观。

但传统的单向质量-弹簧模型将液动压力对容器底部的弯矩叠加到容器侧壁上，使等效质量的加载高度可能超出了容器顶部，不利于加载，并且也无法在容器底部体现液体晃动的效应。为此，本文针对矩形容器给出一种组合质量-弹簧模型及计算公式，将液体晃动对容器的作用分别施加于侧壁、底部，旨为考虑液体晃动的储液容器抗震分析提供新的方法。

1 分析方法

储液容器中液体晃动对容器产生的压力可分为脉冲压力和对流压力。脉冲压力与惯性力相关，且正比于容器壁的加速度；对流压力是由液体振动所产生。Housner方法以此为基础，发展了两种压力计算的近似方法，避开了求解拉普拉斯方程及无穷级数，解的形式简单且相当精确。其理论假设液体为无黏、无旋、不可压；仅考虑液体晃动的一阶频率；自由液面为平面；在垂直于晃动方向的水平方向上液体的运动可被忽略。

1.1 脉冲压力的等效

首先，介绍文献［2］第3章第4节作用于贮液构筑物上的液动压力的简化计算方法，针对矩形容器的质量-弹簧模型进行研究，如图1所示，其中a为矩形容器的长度。在液面以下深度h（≤0.75a）内考虑脉冲压力，超过此深度的液体被当作约束液体；而对流压力随深度衰减很快，在h内计算得到的对流压力是足够精确的。因此h为计算晃动的液体高度，ht为最大液位高度，hr＝ht－h为约束液体的高度。

图1 单向质量-弹簧模型Fig.1 Single directional mass-spring model

其中：m为高度h的液体总质量；下标I表示该变量是对脉冲压力的等效。

下面将分别考虑脉冲压力对容器侧壁、底部的作用。首先，在高度h′I建立mI与容器壁的刚性连接，以等效脉冲压力对侧壁的作用力、力矩；再构造如图2所示的质量-弹簧模型（以下称“图2模型”）以等效对底部的作用：倒T形刚性梁在OI处简支，可绕点OI转动，m′I为图2模型的等效质量。当水平加速度作用于m′I时，通过刚性梁在容器底部形成弯矩。

图2 脉冲压力对底部力矩的等效质量-弹簧模型Fig.2 Equivalent mass-spring model of moment over bottom due to impulse pressure

HI和LI为模型布置参数，可由分析者自行确定：HI为形成底部弯矩的力臂，应使刚性梁转动角度α尽量小，α≈tanα；对LI的确定，应避开容器底部的支承位置，若弹簧单元设置在支承位置可能会导致应力集中，不利于分析计算结果。

在相同水平加速度下，图2模型对底部的弯矩与图1模型中mI对底部的弯矩相等：

将式（4）代入式（5），则有：

其中，ω1为容器在晃动方向的一阶固有频率。

为使弯矩均匀分布，不产生严重的应力集中，可布置多组（设有i组，其中i≥2）的对称底部弹簧（图2中虚线所示）。若单侧单组弹簧刚度均为KI，距点OI为±LI，i，可得：

1.2 对流压力的等效

理论推导可求得矩形容器液体晃动的一阶自振频率［2］为：

式中，下标c表示该变量是对对流压力的等效。

图1模型的等效对流质量mc［2］为：

下面将介绍一种等效对流压力的组合质量-弹簧模型（图3，以下称“图3模型”），将直观地体现出对流压力分别对容器侧壁、底部的作用：倒T形刚性梁在Oc处简支，可绕点Oc转动，m′c为图3模型的等效质量；当水平加速度作用于m′c时，通过水平弹簧在容器侧壁上施加作用力，并通过刚性梁在容器底部形成弯矩。其中K1c为水平方向的弹簧总刚度，K2c为底部单侧弹簧竖直方向总刚度，Hc和Lc是模型布置参数，可由分析者自行确定，确定的原则见上节HI和LI的确定。

图3 等效对流压力的组合质量-弹簧模型Fig.3 Equivalent combined mass-spring model of convective pressure

图4 组合质量-弹簧模型在最大位移时的受力Fig.4 Force on combined mass-spring model at its maximum displacement

按照动静法对Oc点力矩平衡，MO＝0，则：

令图3模型与对流压力对侧壁的合力矩相等，可得［2］：

由式（11）和（13）可得：

图3模型对侧壁的弯矩及对底部的弯矩之比为：

将式（9）、（14）、（15）代入式（16）可得：

在相同加速度下，图1模型、图3模型对侧壁的作用力相等，再结合式（17）可得：

将式（17）、（18）代入式（19）可得：

将式（20）代入式（17）可得：

力臂Lc，i应设为不同，以避免应力集中。

2 组合质量-弹簧模型在三维模型中的应用

首先计算一无盖的长、宽、高为6.0 m× 5.0 m×2.0 m的矩形容器，最高液位为1.6 m；液体为纯水，总质量为48 000 kg；底面四边锚固在地面上，为固定约束。容器在宽度方向上受到加速度激励产生晃动。

若采用图1模型，可算得hc为2.189 m，已超出容器的顶部。采用组合质量-弹簧模型时，分别按1.1、1.2节提供的方法建立。将图2模型（等效脉冲压力对底部作用）的LI和图3模型（等效对流压力）的Lc设置为不同，避免产生严重的应力集中。

下面是在横向加速度0.106g作用下的响应。图5为采用单向模型和组合模型的第1主应力分布。由图5可看出，组合质量-弹簧模型使液体晃动效应在容器侧壁和底部均有体现，应力分布更为合理。

表1列出单向模型和组合模型的计算结果及相对误差。可看出，组合模型是精确可靠的，可满足工程设计的需要。

图5 采用单向模型和组合模型的第1主应力分布Fig.5 The 1st principle stress distributions resulting from single-directional model and combined model

3 快堆卧式贮钠罐的横向晃动分析

中国实验快堆（CEFR）贮钠罐是典型的卧式储液容器，在对其进行抗震分析时液体晃动的影响不可忽略。快堆的冷却剂是液态金属钠，假定为无旋、无黏不可压液体。

表1 单向模型和组合模型的计算结果及相对误差Table 1 Results and relative errors of single-directional model and combined model

贮钠罐总高为3.7 m，容器总长为8.9 m，容器壁厚为20 mm，其腐蚀裕量为0.4 mm，板厚负偏差为0.25 mm。整个容器由两个鞍座支承，分别装有4个地脚螺钉。不锈钢密度取为7 900 kg／m3。不锈钢泊松比取为0.31。温度为420℃时，弹性模量取为166 170 MPa。

应用ANSYS程序对贮钠罐在z向（罐体的横向）加速度下的晃动进行分析：有限元模型有62 620个单元，容器采用8节点SHELL281单元，如图6所示；分别采用COMBIN14、MASS21、BEAM188建立弹簧单元、等效质量单元和刚性梁单元。固定鞍座处的4个螺钉完全拧紧，为固定约束；而另一鞍座4个节点允许轴向伸展。

图6 贮钠罐的有限元模型Fig.6 FEM model of sodium storage tank

图7 组合模型的有限元模型Fig.7 FEM model of combined model

图8示出仅考虑对流压力的第1主应力分布。由有限元计算得到的节点力与理论解的比较（表2）可知，组合质量-弹簧模型的计算结果精确可靠，可满足工程需要。

图8 考虑对流压力的第1主应力分布Fig.8 The 1st principle stress distribution due to conductive pressure

表2 考虑对流压力的贮钠罐晃动计算结果Table 2 Transverse sloshing calculation result of sodium storage tank due to conductive pressure

4 结论

采用Housner方法进行储液容器的液体晃动分析时，传统的单向质量-弹簧模型将液动压力对容器底部的作用叠加到容器侧壁上，随之带来一些三维模型加载的困难，尤其对于底部较长的卧式容器。为此，本文针对矩形容器给出了一种组合质量-弹簧模型及计算公式，分别考虑Housner方法对容器侧壁、底部的作用，不使侧壁承担应作用于底部的弯矩，使应力分布更为合理。算例采用组合质量-弹簧模型进行快堆卧式贮钠罐的晃动分析，并将组合模型对容器的作用与相应的理论解进行比较，对比表明组合模型是精确可靠的，从而为考虑液体晃动的储液容器抗震分析提供新的方法。

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XIA Yilin.Parameters estimation for liquid sloshing equivalent mechanical models［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，1991，8（4）：27-35（in Chinese）.

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Combined Mass-spring Model Used to Simulate Sloshing of Fluid in CEFR Sodium Storage Tank

LI Nan1，HAN Zhi2，＊
（1.China Institute of Atomic Energy，P.O.Box 275-34，Beijing 102413，China；2.Nuclear and Radiation Safety Center，Ministry of Environmental Protection，Beijing 100088，China）

A wide variety of liquid storage tanks are designed for nuclear facility.The sloshing analysis is an essential part in seismic analysis of liquid storage tanks.Unlike single-directional mass-spring model adding hydraulic loads over the bottom to those on the walls，a combined mass-spring model was proposed which separated the hydraulic loads on the side walls from those over the bottom and the formulas for rectangular containers were given.The combined model was convenient to build up in 3D FEM and produced more reasonable stress distribution over the bottom.According to numerical results of sloshing analysis for CEFR sodium storage tank，the combined model is reliable.The combined mass-spring model provides a new technique in seismic analysis of liquid storage tanks.

sloshing；combined mass-spring model；CEFR；sodium storage tank

TL425；TL93

：A

1000-6931（2015）09-1642-06

10.7538／yzk.2015.49.09.1642

2014-10-08；

2015-02-06

李 楠（1981—），女，辽宁丹东人，工程师，硕士，从事反应堆力学研究

＊通信作者：韩 治，E-mail：hanzhi＿nsc＠126.com