数学分析中辅助函数法的妙用

2015-05-15贡丽霞王瑞霞何东中

电子测试 2015年8期

贡丽霞,王瑞霞,何东中

(石家庄铁道大学四方学院,石家庄,051132)

0 引言

从数学产生那天起，数学中的构造性的方法也就伴随着产生了。数学基础的直觉派最先提出了这种不成熟的构造性方法，经过了直觉数学，算法数学，现代构造数学阶段，这种方法逐渐成熟，并且成为了数学分析中最常用的方法之一。

所谓“构造法”即是在解题过程中,为了实现条件向结论的转化,利用问题的特殊性设计一个新的关系系统去实现原问题的解决.这种思维活动的特点在于“构造”，构造的量有时看来似乎与题意无关，但实际上恰与问题有内在关系，而且在某种条件下正是题目所求，具有较强的灵活性和技巧性.这种转换思维的方法在微积分解题过程中常有用到,例如在等式或不等式的证明中,通常是根据要证的式子,探索所需函数,先构造一个辅助函数,再利用有关知识去解决.

下面从以下几方面谈谈妙用构造辅助函数法解决数学分析中的相关问题．

对于这类问题，我们已经研究的比较清楚，并有以下命题：

命题1 设且上连续，在内可导及，则至少存在一点使

注：① 中的积分只取一个原函数；

②命题中若，即为罗尔定理；值定理

③命；题中若，即为拉格朗日中

我们学过常微分方程，只要将命题结论看成一个微分方程（将看作未知量），那么就是这个方程的特解（在通解中取）．

例1 设函数在上连续，在内可导，则至少存在一点使得

1 用构造函数法证明等式

1.1 证明中值的存在性

（1）要求中值满足“”型的问题．

证对照上面的命题，我们可设

例1还可以有第二种解法：

如果不便于积分，那么将作适当处理(如乘上一个不恒为零的函数等)，使其便于积分，再使用积分法来构造辅助函数．

（2）结论中出现或二阶以上导数的情况．

证作辅助函数

此方法虽然易懂，但有时计算很繁杂，因此就要求用技巧更高的构造辅助函数法．

分析此题若用上述方法构造函数，求原函数时计算复杂，因此构造另一个简便的函数．

证令

1.2 证明双介值问题，即的存在性

先运用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理，然后转化为单介值问题，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理．运用柯西中值定理来说明，我们将柯西中值公式写成：

可以看到，若选取不同的函数可将表示成不同的形式，若另取，则使得

1.3 证明3个中值的存在性

解这类题找三个不同的函数，满足柯西中值定理，故存在，使得

因为左式相等所以右式也相等．

1.4 证明个中值的存在性

推广到证明个中值的存在性，用个不同的函数（只要满足柯西中值定理的条件）便可得到含个中值的个等式．

2 用构造函数法证明不等式

步骤:

证构造函数

3 构造具有特殊性质的函数

在数学分析中，为了加深对概念的理解，或说明定义的严密性，许多地方都会举出一些实例。如一元（多元）函数的极限、连续等，大多数人认为仅仅是构造函数，而不是解题．事实上，能够真正熟悉了解具有特殊性的函数，一方面可以帮助我们在构造函数时打开思路，最快的找到我们需要的辅助函数；另一方面，构造具有特殊性质的函数也可能直接解决问题。

例如函数，由于其导数仍是它本身，利用它容易将与甚至更高阶导数联系起来，这就要求我们对一些重要的常用的函数及其性质非常熟悉．

例7 证明：若函数在区间内可导，且