复合泊松需求分布下生产企业的生产

刘恒+董作文

摘 要：通过研究需求到达次数为复合泊松过程的生产企业的生产与库存问题，建立生产企业的生产——库存系统模型，研究生产企业缺货发生的概率，建立这种模型是保险精算学里经典风险模型在存储论中的一个应用，以期能够利用精算数学的有效结论对于解决物流存储的问题开辟一条新的途径。

关键词：复合泊松过程；缺货概率；库存费

中图分类号：F224 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2015）10-0014-02

引言

风险理论是对风险进行定量分析和预测的一般理论，主要处理保险事务中的随机风险模型。研究这些风险模型的破产概率即为破产理论，它是保险精算数学的研究内容。它对保险公司的长期经营稳定性分析有重要意义，也是保险公司最为关心的一个热门课题。

一、经典的风险模型

经典的风险模型由Lundberg于1909年创立，他首次利用随机过程来研究风险模型，他的模型可如下构造[1]：

（一）基本假设

1.Ti表示第i-1次与第i次索赔之间的时间间距，i=1，2，∧。Ti独立同分布，分布函数G（x）。

2.Xi表示第i次索赔额，Xi独立同分布，分布函数为F（x）；对任意的i与j，Xi与Tj独立。

3.保费收入是线性增长的，记线性增长因子为c。

（二）经典的盈余过程的构造

由假设1～3，令N（t）表示t时已发生的索赔的总次数。

S（t）=X1+X2+∧+X

N（t）表示t时已发生的索赔总额。

记u为公司的初始准备金或初始盈余，令X （t）=ct-S（t），U（t）=u+ct-S（t）为t时刻的盈余；记破产时刻T=inf{t：U（t）<0}，则Ψ（u）=P{T<∞}为在初始盈余为u的情况下，公司的最终破产概率，Ψ（u，t）=P{T

二、复合泊松需求分布下生产企业的生产——库存系统模型[2]

（一）模型的构造

1.假设生产企业初始存货量为Q，单位时间的货物生产量为c。

2.假设生产企业面对的货物需求次数符合复合泊松过程，假设（0，t]内的需求到达次数为N（t），则N（t）符合泊松过程。

3.假设生产企业面对的每次货物需求量为Ri，i=1，2，∧，Ri，i=1，2，∧独立同分布，分布函数为F（x），假设E（Ri）=R，i=1，2，∧。

在以上假设下，生产企业在t时刻的货物存储量U（t）=Q+ct-Ri。下面，我们就要讨论该模型的缺货发生的概率了。记缺货发生的时刻T=inf{t：U（t）<0}，则Ψ（Q）=P{T<∞}为在初始存货为Q的情况下，企业的最终缺货概率。

（二）缺货发生概率

定义1：我们称关于a的方程1+（1+θ）Ra=eaxdF（x）的正数解A1为Ri的次调节系数，其中θ=-1。

定义2：取A=max{r∶r=A1}，称A为Ri的调节系数。

定理1：设企业初始存储量为Q，货物需求量Ri的分布函数为F（x），则：

Ψ（Q）≤e-AQ。

定理2：设企业初始存储量为Q，则缺货发生的概率满足：

Ψ（Q）=。

定理3：如果企业初始存储量等于0，那么对所有的y>0，我们有：

P[U（T）∈（-y-dy，-y），T<∞=[1-P（y）]dy。

证明：在复合泊松过程下，在时间区间（t，t+d1）有一个需求发生的概率等于λdt，该概率独立于t以及过程直至该时刻的历史。所以在0和dt之间要么没有需求发生（概率为1-λdt），且存货从Q增加到Q+cdt，要么有一个大小为X的需求量发生。后一种情况包含两种可能：如果该需求量小于Q，那么过程将以资本金Q+cdt-X继续下去；否则缺货就会发生，不过只有当X>Q+y时破产的严重程度会大于y。

定义：

G（Q，y）=P[U（T）∈（-∞，-y），T<∞|U（0）=Q]，

我们有：

G（Q，y）=（1-cdt）G（Q+cdt，y）+cdt{G（Q-x，y）d

Fx（x）+d

Fx（x）}

（1）

记G'为函数G关于u的偏导数，那么：

G（Q+cdt，y）=G（Q，y）+cdtG'（Q，y） （2）

把（2）式代入（1）式，从两边消掉G（Q，y），并除以cdt，我们得到：

G'（Q，y）={G（Q，y）-G（Q-x，y）dFx（x）- dFx（x）} （3）

再按Q∈[0，z]对（3）式积分可得：

G（z，y）-G（0，y）={G（Q，y）dQ-G（Q-x，y）dF

x（x） dQ

- dFx（x）dQ} （4）

求解（4）式得到：

G（z，y）-G（0，y）={G（Q，y）[1-F（z-Q）dQ-[1-F（Q）]dQ

取z→∞，由上式得：

G（0，y）={[1-Fx（Q）]dQ } （5）

得证。

（三）概率的进一步讨论[3]

在破产理论中，我们定义最大累积货物需求量，即到时刻为止的货物需求总额和货物产量的差的最大值：

L=max{S（t）-ct，t≥0}。

S（t）为到t时的货物需求总额，c为货物生产速度。因为S（0）=0，所以L≥0。

事件L>Q发生当且仅当存在一个有限时间t，使得U（t）<0；换一句话说，不等式L>Q和T<∞是等价的，从而：

Ψ（Q）=1-FL（Q），

接下来，我们考虑了货物存储创新下记录的时刻，下记录只能发生在提货时刻。我们用随机变量Lj，j=1，2，∧来表示第j个下记录比第j-1个下记录小的额度。设M是新纪录的随机个数，我们有：

L=L1+L2+∧+LM。

由于泊松过程是无记忆的，所以每一个指定的下记录是最后一个下记录的概率是相同的，为1-Ψ（0），也就是说，随机变量M复合几何分布，参数为p=1-Ψ（0）。

定理4：Ψ（0）=[1-F（y）]dy =R=。

定理5：假设在生产过程中至少存在一个下记录L1，那么L1的概率密度函数fL1（y）可以表示为：

fL1（y）=，y>0。

总结

本文研究需求到达次数为复合泊松过程的生产企业的生产与库存问题，建立生产企业的生产——库存系统模型，研究生产企业缺货发生的概率。本文建立的这种模型是保险精算学里经典风险模型在存储论中的一个应用，希望能够利用精算数学的有效结论对于解决物流存储的问题开辟一条新的途径。

参考文献：

[1] 徐保华，李小爱，邹捷中.时间赢余过程的构造及其破产理论[J].数学理论与应用，2003，（1）：89-90.

[2] 方秋莲.几类需求带跳随机库存模型及其应用研究[D].武汉：中南大学，2010.

[3] [荷]R.卡尔斯，M.胡法兹，J.达呐，M.狄尼特.现代精算风险理论[M].唐启鹤，胡太忠，成世学，译.北京：科学出版社，2001：70-71.

[责任编辑 吴高君]