换元法在求极限中的应用举例

丁艳风 张玉灵

摘 要：换元法又称变量替换法，它在参与数学计算和其他学科中起着重要的作用。在数学计算中不仅在所有中学数学计算中起着举足轻重的作用，在大学数学上的作用也不可忽视。该文仅就大学数学微积分课程中，换元法在求极限运算中的作用做一下简单阐述，通过例子我们将会看到换元法无处不在，只要灵活运用，不管多么抽象、多么复杂的数学式子都会变得容易多了。极限过程有很多种，我们通过常见的学生易错的“”型、“”型、“”型等未定式的极限来体现一下换元法的妙处。

关键词：换元法 极限 未定式 罗比达法则

中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）12（a）-0249-03

Abstract：Change element method called variable substitution method，it plays an important role in mathematics and other disciplines.In mathematics not only in the calculation of all the middle school mathematics plays an important role in College Mathematics role can not be ignored.The calculus mathematics courses in universities，change element method in limit operation do a simple exposition，through examples，we will see changing Yuan Law is everywhere，as long as the flexible use，regardless of how abstract，how complex mathematical formula will becomes much easier.Limit process there are many，we through the common student error prone“”type，“”type，“”type without formulary limit to reflect the look for the beauty of element method.

Key Word：Method of Transformation；Limit；Infinitive；Robida Rule

美国著名数学教育家G.波利亚在《怎样解题》中说过：“数学教学的目的在于培养学生的思维能力”“掌握数学就意味着要善于解题”“而数学解题就是命题的连续变换”[1]。

换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换对象，把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题化为简单的问题，从而变得容易处理。它可以化高次为低次、划分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列三角等问题中有广泛的应用。我们仅就换元法在求极限过程中的作用简单阐述一下。

1 换元法在极限定义中的应用

极限不仅是微积分这门课程的重要工具，也是其他数学课程很多问题分析的基础，所以，求极限就变得很重要。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确的求出各种极限。求极限是初学微积分者首先要面对的问题，不论后续课程的求导、求积分、判断级数的敛散性及二重积分都离不开求极限。求极限的方法很多，该文仅就一些细节部分，大家平时不易注意的地方稍作一下概括，接下来我们通过例子仅看一下换元法在求极限的相关题目中的使用。

初学极限时，有些基本的需要直接用结果的极限时，需要验证一下结论的正确性，而此时连续性这个概念还未介绍，只有极限的定义。接下来我们利用极限的定义和换元法来看一下最基本的求极限的例子。

此例告诉我们，在只有极限的定义可用的情况下，结合着换元法也同样起到化繁为简的效果。

2 换元法在求极限中的应用

求函数极限出现在微积分课本的第二章，在罗比达法则未介绍之前，对于有些“”型、“”型等未定式的极限，若采用换元法会使计算更简单，学生也更能接受。接下来我们分几种情况对这个问题阐述一下。

2.1 换元法在求“”型未定式的极限中的应用

例2：求极限。

此例形式为简单的“”型，但是要证明二者为等价无穷小不做换元是不容易解决的，做一下换元就豁然开朗了。若我们令，利用反函数与复合函数的关系既得，从而就化为第一重要极限的形式了。

与此例类似的还有极限，同样做换元令，就很容易转化为第一重要极限的形式了。接下来看一个多项式的例子。

例3：证明：当X→0时，-1与是等价无穷小。

因为，此极限为“”型，若直接利用多项式的因式分解也可以做出来，但是式子太麻烦，原因是多项式的指数都为分数，学生不易看懂。若换元令则，从而函数就化为关于的多项式的形式了，这样就很容易把指数是分数的函数变成指数是整数的函数了，这样就化为我们常见的多项式了，因式分解后一目了然，学生也很容易接受。

例4：求极限。

此例子直接用等价无穷小代换的推广形式即可算出，但是初学者不太会灵活运用，且在使用过程中还容易出错。若此时令，就是极限过程从转化为，而函数也变得简单了，这样学生做起来就更容易接受且不易出错了。

例5：设函数在内连续，求常数。

分析：由已知及连续的定义知函数在处连续从而有，而左式的求极限却是不少同学的难点。原因是罗比达法则还未介绍，若使用一步就算出来了。若用换元法令，再根据对数函数的性质就可以把极限形式化为常见的等价无穷小的形式了。

2.2 换元法在求“”型极限中的应用

“”型未定式求极限一般思路就是化为“”型或“”型，这时就有一个把谁放到分母上的问题，有些题目若不做换元直接转化反而会更麻烦，所以，在转化之前一定要根据题目的特点灵活应用。

例6：求极限。

这种类型的极限是“”型未定式求极限同时也是在等价无穷小代换没学之前遇到的，刚学过第一重要极限，学生做的错误百出，什么样的错误都有，其实若在做的过程中做个换元令，极限过程就从“”转化为“”，而函数就转化成大家都熟悉的形式了，这样不仅把过程变得简单了，还不容易出错，把所有易出错的地方就都避免了。

例7：求极限。

此极限是“”型未定式求极限，此时罗比达法则已经学过，再做这类题目就是把“”型转化为“”型或“”型，这就需要有一个因子要放到分母上，但都是太麻烦，若作等价无穷小代换又与平时常见的等价无穷小类型不一样，这时不妨做个换元令，极限过程就化为，而同时函数也化为常见的等价无穷小的形式了，这样学生做起来就不容易出错，求极限就变得简单多了。

例8：求极限。

此极限类型与上题是一种类型，也是“”型未定式求极限，做题方法仍是转化为“”型或“”型，若不做个换元而直接转化，进而使用罗比达法则会越算越麻烦。这个题目的简单做法就是令，则函数就化为常见的形式，且极限过程也从转化为了。

2.3 换元法在求“”未定式中的应用

对于“”未定式求极限，常常采用的方法是通分或者根式有理化化为“”型或“”型，但是有些问题并没那么简单，大多数学生第一步都会，就是接下来错误百出，极个别类型题学生第一步就不知从何下手，接下来的两个题目告诉我们换元法在解决这个问题时的方便之处。

例9：求极限。

此极限把函数通分就可以化为“”型，利用罗比达法则就可以做出来，但是分母是两个函数的乘积，求导有点繁琐，若换元令，再结合等价无穷小代换就可以避免分母是两个函数乘积的情况，这样计算起来不仅简单而且不易出错。

例10：求极限。

此类型亦为“”型，这个题目有点特殊，通分没分母，根式有理化没根号，一时间给人一种无从下手的感觉。这时就要创造分母，做一个换元就可以解决这个难题，此换元法也可称为“倒代换”（即倒数代换）。

若我们令，就创造了分母，通分后就化为了“”型，直接利用罗比达法则就很容易做出来了。

3 结语

由上可知，换元法在求极限的过程中无处不在，不仅在极限的定义中有方便之处，在不同类型的极限中也起着简化计算的作用。其实换元法在微积分的教学中有着广泛的应用，解题时大家可以根据问题的特点，灵活运用，这样能给问题带来方便。因此，在数学的学习时，特别是计算数学问题时，要有意识的训练运用换元法的技能，有效地提高解题的应变能力与思维能力，从而增强学生学习数学的兴趣。

参考文献

[1] G.波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007：2-10.

[2] 成立社.微积分[M].郑州：郑州大学出版社，2007.

[3] 赵树嫄.微积分[M].3版.北京：中国人民大学出版社，2007.

[4] 统计大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2006.