有效教学理论下的数学双基教学和数学变式教学*

南通师范高等专科学校 钱美兰

1 双基教学

1.1 “数学双基”的界定

何为数学双基？张奠宙先生指出，“数学双基”指“数学基本知识”和“数学基本技能”，这不因任何历史阶段的改变而改变。田中、徐龙炳、张奠宙认为数学基础知识主要包括以下三个方面：知识、方法、思想。他们认为数学的基本技能蕴含“在实践的基础上”和“有一定的规则或操作程序”这两点，总结了运算、推理、绘图三种基本技能的延伸。郑毓信从认知角度对“数学双基”提出了“结点说”。他认为，将数学的法则、公式、命题、概念等看成知识网络或概念网络中的结点，根据结点连接的广泛程度看出其重要性，进而产生“数学基础知识”；根据问题解决时所需要的程序应用的深度和广度，可以决定“数学基本技能”。

1.2 “数学双基教学”的主要特征

一直以来，数学教学坚持打好基础，遵循基础知识教学和基本技能应用的“双基”原理具体表述如下：

从课堂组织形式上看，我国数学基本上沿袭“复习—新知识探究—分析实例—实践整合—课堂教学小结—作业”的教学方法。这种课堂教学组织形式较为固定，包括六个传统教学环节“复习旧知导入新课—带着新问题探究新知—分析与讲解例题—作业巩固小结—整节课小结—布置课后作业”，各个环节要求和目的都十分明朗化。

从课堂教学的成效上看，注重效率，避免弯路，直接体现了教学内容的侧重点。受应试教育的影响，“双基教学”被理解为“考试的双基”，为了帮助学生尽快掌握知识点，提高学习效率，课堂教学中教师主要在新知呈现及例题梳理这些环节上尽快展现数学内容，避免学生走弯路。如特别在介绍定义、原理及相关公式时，为了让学生能尽快记住定义、定理及公式，许多教师略讲定义、原理及公式产生的背景与过程，直接将之呈现出来，让学生有目的地去记忆。这种方法确实能节约不少时间，将更多的时间投入到解题训练中去，虽实现了“精讲多练”，但最终必导致学生知识的遗忘率也高。

从培养能力的角度上看，注重学生的逻辑思维能力。主要包括概念的辨析、无重复无遗漏的分类、主要公式的记忆、知识点的逻辑关系和掌握数学解题的流程，还有数学解题套路的熟悉，尤其是形式化的逻辑演绎证明。如分类不重复不遗漏, 解题过程前后要等价，分母不能等于零，绝对值不为负值，被开方数不能为负值等等，反复强调、训练。

从思维训练上看，注重学生数学思想与方法的培养，反复进行大量解题训练。例如，分类讨论，数形结合，特殊到一般，函数与方程，分析、归纳、综合、类比、演绎、化归的概括和应用。

2 变式教学

《论语·述而》记载：“举一隅，不以三隅反，则不复也”，体现了孔子时期 “变式教学”观念就已经产生。“数学变式教学”是我国最重要的教学模式之一，也是广大教师在课堂实践中使用的最重要的教学方式之一。通过变式教学，学生可凭自己已有的认知结构或感性经验及相关能力去领会事物的本质并提升自己对问题的新认识。这对训练学生的思维，使之达到广阔、深刻与灵活，有着非常重要的意义。

2.1 “数学变式教学”的界定

所谓“数学变式教学”，是在数学教学过程中不改变本质特点，但不断地改变数学概念的条件，建立各种应用环境，使学生在任何变化过程中都能认清本质的一种教学方法。

2.2 “数学变式教学”的主要特征

数学变式教学主要具备如下两个特征：

第一，对概念的多角度理解。概念性变式教学通过多概念间及概念的本质特征与非本质特征的区别与联系来把握概念的本质属性，从而实现对概念多角度的理解。这样，有利于学生真正理解概念的本质，从而建立新概念与原有概念的区别与联系。如代数中复数分类的理解及立体几何中柱体、锥体与台体合理的分类等。

第二，展现数学活动经验的多层次性。这种多层次性主要体现在：帮助学生循序渐进地学习概念的逻辑过程，历史过程或者心理过程；使学生的间接解决活动具有多个台阶或者多种途径来解决问题；构成一个多层次的经验系统促进学生形成认知结构。这种有层次推进的变式使学生原有分散的、零碎的活动经验成为一个有机整体，这样可以帮助学生优化知识结构并做到融会贯通。

3 有效教学理论下的双基教学和变式教学

3.1 有效教学理论下两种教学的有效性

3.1.1 数学双基教学模式的有效性

由于我国数学教育狠抓基础，落实双基，因此我国学生的数学基础较扎实，并且他们有的在各届国际数学比赛中大获全胜，从这些方面不难看出我国坚持数学双基教学的正确性和有效性。现从如下三方面评述其有效性：

第一，教学过程中十分重视知识掌握与技能训练的有效性。无论是概念与原理的提出，课堂练习与应用，教学中总是不断围绕以知识为中心，以练习为中心开展教学的。课堂上师生共同归纳出概念与原理，再对概念与原理的理解给出相应的变式理解，目的是进一步理解好基础知识的本质内涵。接下来是基本技能的训练。无论是一题多解还是一题多变还是一法多用，目的就是为了进一步将知识点达到理解并灵活运用，基本技能的训练达到自动化、炉火纯青的地步。总之，双基教学一个最突出的优势就是打好知识基础，抓好技能训练。

第二，教学过程中十分重视发挥教师的主导作用。教师理所当然地成为课堂上的引导者、组织者与管理者，通过严谨周密的布置，逐步引导整个课堂教学活动朝着既定的目标发展，课堂时间得到合理而有效的利用。

第三，追求课堂教学效率的教学是非常重要的。正如前面所提到的，为了避免学生走不必要的弯路，在教学过程中关于概念的提出与技能的训练基本都是由教师掌控。教师先创设合理的情境将新知尽快呈现，经过讲解分析，引导学生快速理解新知，接下来再通过一定预设的例题让学生对新知加以巩固吸收，再通过一系列的变题，使学生领悟数学的思想和方法，全面吃透新知识的本质。总之，一节课完全在教师的有效掌控之下，按照教师的意愿开展相关活动，极大地提高了教学效率。

3.1.2 数学变式教学模式的有效性

变式教学可以使学生有意识、有目的地辨析同类事物的非本质特征从而增强对事物的本质属性的认识。数学变式教学能促进学生学习的主观能动性，可以帮助他们利用所学知识融会贯通，领略数学的魅力，体味数学学习的乐趣。鲍建生等在其系列论文“变式教学研究”中作了系统研究，他们认为：第一，变式教学有利于数学概念的掌握。从具体直观的变式多角度导入概念与原理，帮助学生掌握概念的内涵及外延。第二，变式教学有利于数学经验的增长。能促进数学活动的有层次推进，用于概念的形成过程和用于问题解决的教学以及用于取得特定的活动经验，有利于学生数学活动经验的增长。

3.2 有效教学理论下两种教学的局限性

3.2.1 数学双基教学的局限性

数学双基教学也有其局限性。数学双基教学虽然在我国的教育史上具有不可磨灭的作用，但一直以来由于我们过分注重双基教学，忽视了数学在人的发展过程中其他方面的价值，致使双基教学出现了异化。概括起来主要表现为：

3.2.1.1 注重教师的主导地位，忽视学生的主体地位

众所周知，学生是课堂学习的主体。但是在传统课堂上却是由教师主导，甚至强行灌输式教学模式。学生在这种束缚之下，主体地位被抹煞，情感与价值观得不到体现，需求得不到满足，想法得不到沟通与理解，上课枯燥无味，课堂沉闷，失去活力。

3.2.1.2 注重解题训练，忽视数学基本思想方法的培养

教师对题目的讲解和示范按照既定套路进行，重点往往是放在如何做和具体的解题方法及技巧上，而对于为何要这样做，以及如何想到解题思路等问题却很少涉及。这样使学生丧失了在熟练掌握解题技能的基础上进一步对解题思想方法与策略进行升华，使解题能力得到提高的机会。传统教学中经常碰到一道题目讲解多遍，一段时间后拿出来哪怕是稍作变化后，仍不知如何解题，就像杨振宁教授所说的，我国学生知识太多，活的思想太少。

3.2.1.3 注重双基的夯实，忽视对学生数学的应用意识与创新能力的培养

我们不能局限于仅仅打好基础。打好基础的目的是为了进一步创造更辉煌的业绩。一个科学的数学教育理论，必须同时研究“基础”和“创造”两方面。缺乏基础的创新是天马行空，缺乏创新的基础是机械重复。故培养学生的发展要注重“基础”与“创造”相结合。

3.2.1.4 注重数学的考试作用而忽视数学文化对人的发展的重要作用

在课堂上，注重教知识、练技能而忽视知识产生的背景及在生活方面的应用的教学屡见不鲜。如“掐头去尾烧中段”式课堂教学，学生思考、探究、实践的机会与时间大大缺乏，即使有的讨论与合作也是流于形式。在这样的“双基教学”活动中，毫无学生的主体性可言，双基教学成为了低层次的传授知识或训练技能的活动，这些都使得双基教学的育人价值大打折扣，忽视了数学文化在人类发展中的重要作用。

3.2.2 数学变式教学的局限性

许多教师片面地理解变式教学。其实，概念或原理的变式教学过分强调知识本身的结构性、系统性、严密性而忽视与其他知识间多角度的相互联系。解题训练则过分强调解题速度的自然化、迅速化而忽视解题思想与方法及解题策略的研究。还有人简单地认为变式训练就是变式教学，效果好，于是大搞题海战术。教学中将题目分组，分类，分专题，机械化、套路式地进行训练，但又从不注重反思总结提升，结果学生前做后忘，知识迁移能力并没有得到实质性提高，教学毫无效果可言。

4 基于两种教学下的案例分析

日常教学过程中，教师对公式内容的证明过程常分析不到位，或直接给出公式或稍微带领学生浏览一下书本上的证明过程就完事。这种重知识而轻过程的学习方式极大地阻碍了学生思维的发展。因为公式的形成过程中往往富含许多先进的数学思想与方法，教师对公式的证明过程，对培养学生学习的严谨性、科学性与逻辑性，培养学生优秀的思维品质与创新思想举足轻重。以下以同角三角函数的基本关系为例来说明如何进行公式教学。

4.1 教学内容分析

本节课主要学习内容为理解与掌握同角三角函数的两个基本关系式，进而是应用公式进行化简、求值与证明，主要是让学生体会到同角三角函数值之间的相互联系。本节课可从两个角度对关系式进行证明。一是从代数角度——借助三角函数定义来猜想并证明关系式，让学生认识到事物之间的普遍联系性；另一方面从几何形式——三角函数线角度给予数形结合的证明，让学生更加直观地认识同角三角函数关系。

4.2 教学重点和难点

（1）教学重点：①同角三角函数基本关系式的推导证明；②应用同角三角函数基本关系式进行化简、求值和证明。

（2）教学难点：同角三角函数基本关系式的灵活应用及学生思维品质的养成。

4.3 学情分析

①提到函数，在学生头脑中就是一个“偏、繁、难”的印象，但是这节内容是关于公式的介绍，学生明显会感觉兴趣有所提高，学习的欲望加强。

②借助三角函数的定义、三角函数线等内容作铺垫，学生能在教师的引导下完成公式的探讨。

③高职数学更注重思维训练，当前学生已具备一定的逻辑思维能力与解题能力，所以这节课重在培养学生的自主学习与应变能力。

4.4 教学过程设计

（1）问题引入

问题1：任意角α的三角函数的定义？

问题2：三角函数值的符号问题？

问题3：通过三角函数的定义，猜想任意角α的三角函数值间所满足的等量关系，并给出证明？

问题4：如何用三角函数线证明基本关系式？

问题5：你能提出哪些与关系式应用相关的问题？

问题 6：如果仅已知tanα=2，能否求出sinα,cosα的值？

（2）新知探讨

通过课前预学，自主学习与小组合作交流，加上教师适当引导点拨，证明同角三角函数基本关系式的两种方法。

证法一：利用三角函数的定义，通过观察分析定义中字母间的关系，构造等量关系得出结论。

证明：

证法二：利用单位圆与三角函数线的知识，通过构造直角三角形，利用数形结合思想，直观形象地得出关系式。（3）例题讲解

例1公式辨析：

答案:成立的有(3)、(4)、(6)

思考：猜想同角三角函数的基本关系有哪些具体运用？

变式2 已知tanα=2，且α是第一象限角，求sinα,cosα的值.

变式3 已知tanα=2，求sinα,cosα的值.

（4）课堂小结

①已知任意角的某一三角函数值，根据基本关系式能求其余两个，即“知一求其余”，打好基础。

②应用基本关系式来计算、化简及证明简单的三角函数式，培养迁移与应变能力。

（5）布置作业

习题 4.2 3，4，5，9，10，13，15

（6）课例反思

对该课例进行反思分析，本节课以“巧设问题—合作探究—变式训练”为主线展开教学。

一切从学生的发展出发是本节课最大的亮点所在。首先从两个方向证明同角三角函数基本关系式，培养学生多角度看待并思考问题的能力。而接下来的例题研究，如例1的意图主要是通过对关系式的辨析，让学生充分理解基本关系式的本质特征。例2是一道基础题，主要是公式的直接应用，将关系式与三角函数值在各象限的符号结合起来求解问题。与例2相比，变式1中角所在的象限未知，这就要根据题意首先确定出角可能是第几象限角，这样自然而然要进行分类讨论。故这道变式十分经典，能使学生的思维层次得到明显上升，有一种云开雾散的感觉。接着的变式2、3，改变了题设和结论，此时却可采用解方程组的方法求解问题，虽难度逐步加大，但能较好地加强学生对公式的灵活掌握。而最后的变题 4，角度更多更广，本题至少有三种方法求解。该题虽然思维更活跃，但大部分同学都能至少能用一种方法做出来，而对于其中的“弦化切”思想更要关注。这四条变题的选择很有思维层次感，它们往往会使学生觉得这道题肯定会做，但解起来又会碰到新的问题而必须驻足徘徊思考。因此它们最大限度地使学生灵活运用公式功不可没。由于本例题及变题以问题串的形式展开教学，前后问题层层递进引人入胜，充分体现了问题是获得一切知识的源泉，问题又是解决一切问题的动力。当然，问题更为促进生生互动及师生对话提供了鲜明的背景。

通过深入分析这节课，笔者认为可以在平时的数学教学活动中适度运用变式教学，通过对概念与原理的一题多变，对练习的多角度求解与变换等，引导学生辨析事物的非本质特征，逐步加强学生对事物的本质认识。本节课就是如此，通过例2进行适当合理的变式，设计过程实施得非常顺利，学生自主合作，积极踊跃，努力克服前进路上的困难，教学目标基本达成。这也符合了新课程的改革趋势，以学定教，以学生为本，极大地调动学生的学习激情。相关例题的教学使学生的思维也得到了极大地锻炼，学生收获了一定探索性学习的方法与策略，并最终享受到了成功的喜悦。

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