层状场地脉动卓越频率对应的理论计算深度研究

邓亚虹， 徐 平， 李喜安， 范 文

(1. 长安大学西部矿产资源与地质工程教育部重点实验室， 陕西 西安 710054；2. 长安大学国土资源部岩土工程开放研究实验室， 陕西 西安 710054；3. 郑州大学交通运输工程系， 河南 郑州 450001)

层状场地脉动卓越频率对应的理论计算深度研究

邓亚虹1,2， 徐 平3， 李喜安1,2， 范 文1,2

(1. 长安大学西部矿产资源与地质工程教育部重点实验室， 陕西 西安 710054；2. 长安大学国土资源部岩土工程开放研究实验室， 陕西 西安 710054；3. 郑州大学交通运输工程系， 河南 郑州 450001)

地脉动观测是一种简便有效的场地土层动力特性测试方法。依据场地脉动能量中瑞利波为主的特性，基于层状场地瑞利波弥散特征曲线，研究了不同场地条件下脉动卓越频率对应的瑞利波波长与场地自振频率理论计算深度之间的关系。计算结果表明:场地一定深度范围内土层剪切波速差异特性是其主要影响因素。如果土层波速差别较小或者某一波速占主导地位，则理论计算深度与瑞利波波长比值约为1/(4a)(a为瑞利波波速与剪切波速之比)，与均匀场地结果接近；反之，土层波速差异越大，两者比值与1/(4a)偏离越远，且1/(4a)为比值上限。

层状场地； 地脉动； 卓越频率； 自振频率； 理论计算深度

引 言

在地震活跃区进行重大工程的场地地震安全性评价时，场地动力特性的分析也是不可或缺的工作。从场地动力特性的分析方法来看，目前主要包括两大类，即理论方法和经验方法。理论方法基于数学模型和场地岩土工程资料，通过理论计算完成场地动力特性的分析，经验性方法则依赖于不同局部地质条件下场地上记录到的强震、弱震的地震动或地脉动记录，对这些记录分析后得到场动力特性参数。然而，在地震活动性较低时，很难记录到有代表性的地震动样本，且在非岩性土和坚硬岩石场地上同时得到记录也很困难，而利用观测场地脉动记录进行场地动力特性分析是一种简单、方便、经济的测试方法[1-2]。国家标准《地基动力特性测试规范》(GB/T 50269-97)也规定，地脉动测试可为工程抗震和隔振设计提供场地的卓越周期[3]。

地脉动是地基每时每刻(即使没有地震发生)都存在的一种微小振动，其振幅通常只有几个微米。地脉动没有特定振源，且在任何时间任何地点都可以观测到它的存在[4]。地脉动的工程应用始于20世纪50年代，日本著名学者金井清(Kanai)大力推动将地脉动作为工程场地动力性能评价的一种技术手段，提出用地脉动频谱分析法对工程场地进行分类[5]。20世纪90年代以后，Nakamura法得到广泛应用，国际上地脉动研究热点转移到单点谱比(H/V)法研究[6-10]。国内地脉动研究始于20世纪60年代，很多专家学者在地脉动理论研究以及地脉动的工程应用上做出了自己的贡献。大量研究均表明，地脉动里确实包含了很多场地土层的构造信息， 对于地脉动在工程场地动力特性评价中的应用发展历史及成果很多学者做过系统的总结[11-13]。对于脉动中的能量组成和模态结构也有很多学者进行了研究。Toksoz和Lacoss(1968)曾对脉动的模态结构进行过详细分析，指出，地脉动中瑞利面波的各阶模态是主要成分[14]。Haubric等(1969)的研究也得出了类似的结论[15]。Liaw等(1979)用F-K法对频率范围为2～10 Hz的地脉动研究表明，其主要由瑞利面波组成[16]。在匀质半空间中存在的瑞利波，其波速与振动频率无关，即具有非弥散性；在成层地基中的广义瑞利波则具有频散特性，即相速度与振动频率相关。杨学林(1995)指出，若是在地表测量地脉动，则测得的便是瑞利波的弥散曲线[17]。陈云敏等(1991)和夏唐代等(1993，1996)曾对成层土中的瑞利波特性进行了深入系统的研究，研究结果表明，剪切波速和土层厚度对对瑞利波波速弥散曲线有较大影响，而质量密度和泊松比等则影响较小[18-20]。

日本金井清认为，地脉动反映了地表15～20 m内土层的自振特性。高广运等(2000)认为，卓越频率主要受场地浅部岩层影响[21]。中国国家标准《建筑抗震设计规范》(GB 50011-2010)规定，在按土层等效剪切波速进行场地分类时，土层厚度取为20 m[22]。邓亚虹等(2009)采用一致质量矩阵剪切质点系法分析了某实际场地地脉动卓越频率与对应的理论计算深度选取的问题。这里的“理论计算深度”是指当理论计算获得与脉动卓越频率一致的场地自振频率时，计算模型所选取的土层总厚度。研究发现，当理论计算深度取为15 m时，脉动卓越频率与理论计算得到的场地自振频率基本一致，其深度约为脉动卓越频率对应的瑞利波波长的1/(4a)时(a为瑞利波波速与剪切波波速之比)[23-24]。那么场地脉动卓越频率反映了浅部多深范围内土层的自振特性呢，或者说取多大的计算深度能得到与场地脉动卓越频率相当的自振频率呢，文章没有进一步分析。

在上述研究工作基础上，本文依据脉动能量中瑞利波为主的特性，基于层状地基中瑞利波弥散特性曲线，以土体剪切波波速和土层厚度为主要影响因素，研究了不同场地条件下脉动卓越频率对应的场地自振频率理论计算深度问题，研究结果对于脉动卓越频率本质意义的明晰及其合理工程应用提供了理论参考。

1 基本原理与分析步骤

将土层剪切波波速和土层厚度视为脉动卓越频率对应的瑞利波波长与场地自振频率理论计算深度之间关系的主要影响因素，采用具有不同剖面结构特性的无限半空间上的双层覆盖场地模型进行计算分析，以研究两者之间的相互关系及其影响因素。层状场地自振频率的计算采用作者在文献[24]中提出的基于一致质量矩阵的剪切质点系法(一致质量法)。一致质量法与传统集中质量法的根本区别在于：在体系的自由振动微分方程中，使用下式所示的一致质量矩阵替代了集中质量法中的集中质量矩阵。

(1)

式中ρ和m分别为某层土单元的密度和质量，N为单元形函数矩阵。式(1)在形式上与采用线性单元和一致质量矩阵的有限单元法是一致的。从理论上而言，由于场地土层在深度方向上是一个质量连续分布体系，因而采用一致质量矩阵将获得更接近实际的计算结果。

由单元质量矩阵Me通过组集便可得到整个体系的一致质量矩阵。由于单元的一致质量矩阵为2×2方阵，所以整体质量矩阵为下式所示的三对角线形式的矩阵。

(2)

同样，刚度矩阵亦为如下式所示的三对角阵

(3)

文献[24]的研究表明，由于在体系的自由振动微分方程中采用一致质量矩阵代替传统的集中质量矩阵，因而在利用特征方程求解体系自振频率时具有更高的精度和计算稳定性，同时避免了集中质量法所具有的“振荡”缺陷。

成层地基瑞利波频散特征曲线计算的传统方法是解析法，解析法根据土层之间的力和位移连续条件来建立特征方程，但在求解时在高频部分会出现计算机溢值，影响计算精度。夏唐代等(1993)利用有限元和解析法相结合建立的成层地基瑞利波特征方程来求解地基的频散特征曲线，具体做法是半空间采用解析法，而成层覆盖层采用有限元法，这不但消除了有限元法中半无限单元参数取值的问题，而且利用矩阵特征值求解方便这一优点，克服了解析法的求解困难，兼有两者之优点。研究表明该方法能十分有效的分析复杂地基的瑞利波特性[4]。这也是本文所采用的方法，详细内容可参看文后参考文献[4]和[19]，这里不再赘述。

本文计算分析遵循如下步骤：首先，根据瑞利波特征方程求得模型瑞利波相速度c与波数k之间的关系曲线，并将其转化为圆频率ω与波长λ之间的关系；其次，取用不同计算深度采用基于一致质量矩阵的剪切质点系法计算场地基本自振频率，获得圆频率ω与计算深度H之间的关系曲线；最后，根据上面获得的ω-λ和ω-H曲线，比较相同频率ω下λ和H之间的关系，并获得ω-H/λ关系曲线。

2 剪切波速影响分析

如图1所示的包括半无限空间的三层场地，保持半空间上两层土体厚度为1，变化各土层剪切波速度之间的比值分别形成(a)，(b)和(c)3个模型，模型参数见表1。考虑计算结果的一般性和分析方便，本文所有算例模型均采用归一化的无量纲化参数，具体做法是将各层土物理力学参数除以第一层土的对应参数得到其归一化无量纲参数。从体系自由振动时的特征方程特点来看，归一化处理对本文模型特征值即自振频率和频散曲线的求解以及瑞利波波长与计算深度之间的比较均不存在影响。

图1 场地分层模型Fig.1 Delaminating models of sites

表1 模型参数

图2为由瑞利波波数与波速关系曲线得到的瑞利波波长与频率关系曲线。从图可以看出，随着波长的增大，频率逐渐减小，曲线斜率也逐渐减小。由于3个模型的差别主要在于第二层土的剪切波速，故波长较小和波长较大情况下三者趋于接近，而中间部分差别较明显。

图2 瑞利波波长与频率关系Fig.2 Relation between Rayleigh wavelength and frequency

图3为3个模型自振频率计算深度与频率关系曲线。从图4可以看出，与图2所示的频率与瑞利波波长关系类似，场地自振频率同样随着计算深度的增大而减小，且下降趋势也相同，斜率随着深度增大而逐渐减小。

图3 计算深度与频率关系Fig.3 Relation between computing depth and frequency

据图2和3可以获得某一频率ω所对应的瑞利波波长λ和自振频率计算深度H，并进一步得到某一场地频率对应的瑞利波长与计算深度之比H/λ。图4为场地频率ω与波长、计算深度比值(H/λ)之间的关系曲线。从图可以看出，当频率较大和频率较小时，计算深度与瑞利波波长之比与均匀场地情况的比值1/(4a)(a为瑞利波波速与剪切波波速之比)比较接近。因为较大频率时，波长和计算深度较小，主要受第一层土体性质影响，类似均匀单层情况，而频率较小时，波长和计算深度较大，此时第三层也就是半无限空间起主导作用，而上两层影响逐渐减弱，也类似均匀情况，故计算深度与瑞利波波长比值与1/(4a)接近。而中间频率部分三层土影响相当，整个体系具有明显的非均匀分层性，故两者比值与均匀情况下有较大偏离。比较3个模型，由于模型a上两层剪切波速度相等，即表层有较厚的均匀土层，所以其曲线在开始段有较长部分与1/(4a)接近，而模型b和c由于受第二层影响较快，所以曲线较早偏离1/(4a)直线。但在频率较小的后半段，模型c由于第二层与第三层土体波速参数一致，故在波长和计算深度较大时，其首先使得第三层土体占据主导地位，故其曲线也最早开始回升接近1/(4a)，而模型a则最慢。

图4 计算深度和瑞利波波长比值与频率关系Fig.4 Relation between the ratio of computing depth to Rayleigh wavelength and frequency

上述计算分析模型固定第一和第三层土体剪切波速不变，主要分析了第二层土剪切波速变化对瑞利波波长与计算深度关系的影响，下面将用三个更具一般性的三层场地模型来分析土层之间剪切波差异性大小对两者关系的影响。

如图5所示的包括半无限空间的三层场地，从模型a到模型c，各土层剪切波速度之间的比列关系逐渐增大，也就是场地土层差异性逐渐增大，模型参数如表2所示。

图5 场地分层模型Fig.5 Delaminating models of sites

表2 模型参数

图6为场地频率ω与波长、计算深度比值(H/λ)之间的关系曲线。从图6可以看出，场地土层剪切波速度差异性大小对波长与计算深度之间的比列关系有明显的影响。3个模型中，模型1土层剪切波差异最小，相对于其他两个模型，可视为较均匀场地，因此曲线较为平缓，计算深度与波长比值变化较小，基本上都在1/(4a)附近。模型c土层差异最大，不均匀性最强，因而曲线与1/(4a)线之间的距离也最大，计算深度与波长比值最小，曲线偏离最大处仅为模型a的1/3左右。模型b土层差异性居中，曲线也间于模型a和模型c之间。对于同一条曲线，与前一样，当频率较小和频率较大时，曲线与1/(4a)线偏离较小，中间频率部分相对较大。

图6 计算深度和瑞利波波长比值与频率关系Fig.6 Relation between the ratio of computing depth to Rayleigh wavelength and frequency

3 土层厚度影响分析

如图7所示的包括半无限空间的三层场地，保持第一层土厚度为1以及三层剪切波分别为1，2和3不变，变化第2土层厚度分别形成(a)，(b)和(c)3个模型，模型参数见表3。

图7 场地分层模型Fig.7 Delaminating models of sites

表3 模型参数

图8为根据瑞利波波速与波速关系曲线转换得到的瑞利波波长与频率关系曲线。从图可以看出，随着波长的增大，频率逐渐减小，曲线斜率也逐渐减小。由于3个模型的差别主要在于第二层土厚度不同，故波长较小和波长较大情况下三者趋于接近，而中间部分有一定差别。但与前面图1三个模型比较，中间层厚度变化的影响相较于波速变化影响较小，故曲线差别也较图2要小。

图8 瑞利波波长与频率关系Fig.8 Relation between Rayleigh wavelength and frequency

图9为3个模型自振频率计算深度与频率关系曲线。从图9可以看出，与图9所示的频率与瑞利波波长关系类似，场地自振频率同样随着计算深度的增大而减小，且下降趋势也相同，斜率随着深度增大而逐渐减小。

图9 计算深度与频率关系Fig.9 Relation between computing depth and frequency

同样，据图8和9可以获得某一频率ω所对应的瑞利波波长λ和自振频率计算深度H，并进一步得到某一频率ω对应的瑞利波长与计算深度之比(H/λ)。图10为场地频率ω与波长、计算深度比值(H/λ)之间的关系曲线。从图10可以看出，同前面中间层波速变化模型一样，当频率较大和频率较小时，计算深度与瑞利波波长之比与均匀土层情况的比值1/(4a)很接近，而中间频率部分三层土影响相当，整个体系具有明显的非均匀分层性，故两者比值与均匀情况下有较大偏离。比较3个模型，曲线差别与前面图1三个模型相比要小得多，从图可以看出，曲线前半段也就是频率较大时三者差别很小；第二层厚度越小，计算深度和瑞利波波长比值越早开始偏离，但同时，其曲线也较早回升到1/(4a)线，厚度越大则刚好相反，偏离起点晚，同时回归也最慢。与土层波速影响相比，土层厚度变化影响相对较小，3条曲线差异较图4和6要小得多。

图10 计算深度和瑞利波波长比值与频率关系Fig.10 Relation between the ratio of computing depth to Rayleigh wavelength and frequency

4 结束语

综合上面的分析，可以认为，场地脉动卓越频率对应的瑞利波波长与相应自振频率理论计算深度之间的关系与场地一定深度范围内土体的剪切波波速差异性大小密切相关，如果这部分土层波速差别不大或者某一个剪切波速范围内的土体占主导地位，可近似为某一平均波速下的均匀土层，则两者比值接近1/(4a)，也就是说采用场地脉动卓越频率对应的瑞利波波长的1/(4a)厚度土层计算得到的场地自振频率与场地测得的脉动卓越频率基本一致。反之，土体差异性越大，两者比值与1/(4a)偏离越远，且1/(4a)为其上限。地脉动卓越频率一般反应场地浅部土层的动力特性，因此，可根据土层勘察资料显示的一定深度范围内土体的实际情况来进行具体判断。从瑞利波位移分布特性来看，随深度增加，水平向和垂向位移均衰减很快，波能量集中在1倍波长深度范围。而1/(4a)一般约为0.3左右，可见，地脉动卓越频率实际反映了受瑞利波影响最为明显，即瑞利波位移幅值最大的较浅深度范围内土层的振动特性。

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Theoretical calculation depth corresponding to microtremors predominant frequency of layered soils

DENGYa-hong1,2，XUPing3，LIXi-an1,2，FANWen1,2

(1. Key Laboratory of Western Mineral Resources and Geological Engineering, Ministry of Education,Chang′an University, Xi′an 710054, China; 2. Open Research Laboratory of Geotechnical Engineering,Ministry of Land and Resources, Chang′an University, Xi′an 710054, China;3. Department of Transportation Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

Microtremors observing is a kind of convenient and effective test method for site soils dynamic characteristics. According to the character of Rayleigh wave is the main energy in microtremors of sites and based on the Rayleigh wave dispersion curve of layered soils, the relationship between Rayleigh wave length and theoretical calculation depth corresponding to microtremors predominant frequency is analyzed. Computation results show that, the difference characteristics of soil layers shear wave velocity of site are the main influencing factor. If the difference of shear wave velocities is small or a certain wave velocity is dominant, then the ratio of theoretical calculation depth to Rayleigh wave length is about 1/(4a) (ais the ratio of Rayleigh wave length to shear wave length). That is, is close to the result of uniform site. Conversely, the bigger difference of soil layers wave velocities, the further away to the ratio of 1/(4a), and 1/(4a) is the upper limit.

layered soils; microtremors; predominant frequency; natural frequency; theoretical calculation depth

2014-02-11；

2015-01-07

国家自然科学基金资助项目(41372327)

TU352.12; O328

A

1004-4523(2015)03-0366-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.005

邓亚虹(1978—),男,副教授。电话:15809185867; E-mail:hoverdyh@zju.edu.cn