非余分裂的弱余分裂李代数

夏利猛，白莲花，张远娇

(江苏大学理学院数学系，江苏 镇江 212013)

非余分裂的弱余分裂李代数

夏利猛，白莲花，张远娇

(江苏大学理学院数学系，江苏 镇江 212013)

证明了复数域C上的五维李代数L=sl2+M不是余分裂李代数，从而证明了弱余分裂李代数不一定是余分裂李代数.

余分裂；弱余分裂；非半单李代数

文献[1]中介绍了一种新的“李代数—李余代数”结构，称为余分裂李代数，即一个李代数(L，μ)，使得μ∘δ等于恒等变换.当μ∘δ在某组基下为非退化对角变换时，称(L，μ，δ)是一个弱余分裂李代数.

定义1[1]一个余分裂李代数是指在一个F-向量空间L上赋予两个F-线性映射μ：L⊗FL→L和δ：L→L⊗FL，使得下列条件成立：

(1) (L，μ)是一个李代数；

(2) (L，δ)是一个李余代数；

(3)μ∘δ=idL.

显然，任意的(弱)余分裂李代数L一定满足条件[L，L]=L.文献[3]证明了复数域上任意有限维李代数L=[L，L]一定是一个弱余分裂李代数，反之亦然，并给出了特征域上的一类非半单余分裂李代数的例子.文献[4-6]中也对余分裂李代数的相关内容做了研究.文献[7]给出了如下猜想：设L是一个复数域C上的有限维李代数，则L是余分裂的当且仅当L是半单的.并且文献[7]中证明了复数域C上的有限维李代数是一个内余分裂李代数，当且仅当它是半单的.特别地，它的内余分裂结构是唯一的.

本文主要证明了以下结论：

定理1 李代数L=S+M不是余分裂李代数，其中S是三维单李代数，根基M是S的二维不可约表示，且[M，M]=0.

由文献[3]中结果可知L是弱余分裂的，从而证明了弱余分裂不一定余分裂.这一证明过程也将有助于对上述猜想的研究.

1 预备知识

设李代数L=sl2+M，其中sl2=span{x,y,h}是三维单李代数，M=span{u,v}是sl2的二维不可约表示.李代数运算为：

[x,y]=h,[h,x]=2x,[h,y]=-2y，[h,u]=u,[h,v]=-v，

[x,v]=u,[y,u]=v,[x,u]=[y,v]=[u,v]=0.

假设L是余分裂李代数，我们用反证法证明其主要结构.由余分裂李代数的定义以及L的结构，不妨设L的余乘法为：

a3(x⊗v-v⊗x-h⊗u+u⊗h)+a4(y⊗u-u⊗y+h⊗v-v⊗h)+a5(u⊗v-v⊗u)，

b3(x⊗v-v⊗x-h⊗u+u⊗h)+b4(y⊗u-u⊗y+h⊗v-v⊗h)+b5(u⊗v-v⊗u)，

c3(x⊗v-v⊗x-h⊗u+u⊗h)+c4(y⊗u-u⊗y+h⊗v-v⊗h)+c5(u⊗v-v⊗u)，

δ(u)=d1(h⊗u-u⊗h)+d2(x⊗u-v⊗x)+d3(u⊗v-v⊗u)+d4(x⊗u-u⊗x)+

d5(y⊗v-v⊗y)+d6(h⊗v-v⊗h+y⊗u-u⊗y)，

δ(v)=e1(v⊗h-h⊗v)+e2(y⊗u-u⊗y)+e3(u⊗v-v⊗u)+e4(x⊗u-u⊗x)+

e5(y⊗v-v⊗y)+e6(h⊗u-u⊗h-x⊗v+v⊗x).

其中

令A=(1⊗δ)∘δ(u)，由δ的定义可知

A=d1[(h⊗δ(u)-u⊗δ(h)]+d2[x⊗δ(v)-v⊗δ(x)]+d3[u⊗δ(v)-v⊗δ(u)]+

d4[x⊗δ(u)-u⊗δ(x)]+d5[y⊗δ(v)-v⊗δ(y)]+d6[h⊗δ(v)-v⊗δ(h)+y⊗δ(u)-u⊗δ(y)]=

d1d1h⊗h⊗u-d1d1h⊗u⊗h+d1d2h⊗x⊗v-d1d2h⊗v⊗x+d1d3h⊗u⊗v-

d1d3h⊗v⊗u+d1d4h⊗x⊗u-d1d4h⊗u⊗x+d1d5h⊗y⊗v-d1d5h⊗v⊗y+

d1c3u⊗x⊗v+d1c3u⊗v⊗x+d1c3u⊗h⊗u-d1c3u⊗u⊗h-d1c4u⊗y⊗u+

d1c4u⊗u⊗y-d1c4u⊗h⊗v+d1c4u⊗v⊗h-d1c5u⊗u⊗v+d1c5u⊗v⊗u+

d2e1x⊗v⊗h-d2e1x⊗h⊗v+d2e2x⊗y⊗u-d2e2x⊗u⊗y+d2e3x⊗u⊗v-

d2e3x⊗v⊗u+d2e4x⊗x⊗u-d2e4x⊗u⊗x+d2e5x⊗y⊗v-d2e5x⊗v⊗y+

d2a3v⊗x⊗v+d2a3v⊗v⊗x+d2a3v⊗h⊗u-d2a3v⊗u⊗h-d2a4v⊗y⊗u+

d2a4v⊗u⊗y-d2a4v⊗h⊗v+d2a4v⊗v⊗h-d2a5v⊗u⊗v+d2a5v⊗v⊗u+

d3e1u⊗v⊗h-d3e1u⊗h⊗v+d3e2u⊗y⊗u-d3e2u⊗u⊗y+d3e3u⊗u⊗v-

d3e3u⊗v⊗u+d3e4u⊗x⊗u-d3e4u⊗u⊗x+d3e5u⊗y⊗v-dd1v⊗h⊗u+

d3e6u⊗h⊗u-d3e6u⊗u⊗h-d3e6u⊗x⊗v+d3e6u⊗v⊗x-d3d1v⊗h⊗u+

d3d1v⊗u⊗h-d3d2v⊗x⊗v+d3d2v⊗v⊗x-d3d3v⊗u⊗v+d3d3v⊗v⊗u-

d3d4v⊗x⊗u+d3d4v⊗u⊗x-d3d5v⊗y⊗v+d3d5v⊗v⊗y-d3d6v⊗h⊗v+

d3d6v⊗v⊗h-d3d6v⊗y⊗u+d3d6v⊗u⊗y+d4d1x⊗h⊗u-d4d1x⊗u⊗h+

d4d2x⊗x⊗v-d4d2x⊗v⊗x+d4d3x⊗u⊗v-d4d3x⊗v⊗u+d4d4x⊗x⊗u-

d4d4x⊗u⊗x+d4d5x⊗y⊗v-d4d5x⊗v⊗y+d4d6x⊗y⊗u-d4d6x⊗u⊗y+

d4a1u⊗u⊗x-d4a2u⊗y⊗v+d4a2u⊗v⊗y-d4a3u⊗x⊗v+d4a3u⊗v⊗x+

d4a3u⊗h⊗u-d4a3u⊗u⊗h-d4a4u⊗y⊗u+d4a4u⊗u⊗y-d4a4u⊗h⊗v+

d4a4u⊗v⊗h-d4a5u⊗u⊗v+d4a5u⊗v⊗u+d5e1y⊗v⊗h-d5e1y⊗h⊗v+

d5e2y⊗y⊗u-d5e2y⊗u⊗y+d5e3y⊗u⊗v-d5e3y⊗v⊗u+d5e4y⊗x⊗u-

d5e4y⊗u⊗x+d5e5y⊗y⊗v-d5e5y⊗v⊗y+d5e6y⊗h⊗u-d5e6y⊗u⊗h-

d5b1v⊗u⊗x-d5b2v⊗y⊗v+d5b2v⊗v⊗y-d5b3v⊗x⊗v+d5b3v⊗v⊗x+

d5b3v⊗h⊗u-d5b3v⊗u⊗h-d5b4v⊗y⊗u+d5b4v⊗u⊗y-d5b4v⊗h⊗v+

d5b4v⊗v⊗h-d5b5v⊗u⊗v+d5b5v⊗v⊗u+d6e1h⊗v⊗h-d6e1h⊗h⊗v+

d6e2h⊗y⊗u-d6e2h⊗u⊗y+d6e3h⊗u⊗v-d6e3h⊗v⊗u+d6e4h⊗x⊗u-

d6e4h⊗u⊗x+d6e5h⊗y⊗v-d6e5h⊗v⊗y+d6e6h⊗h⊗u-d6e6h⊗u⊗h-

d6c1v⊗u⊗x-d6c2v⊗y⊗v+d6c2v⊗v⊗y-d6c3v⊗x⊗v+d6c4v⊗v⊗x+

d6c3v⊗h⊗u-d6c3v⊗u⊗h-d6c4v⊗y⊗u+d6c4v⊗u⊗y-d6c4v⊗h⊗v+

d6c4v⊗v⊗h-d6c5v⊗u⊗v+d6c5v⊗v⊗u+d6d1y⊗h⊗u-d6d1y⊗u⊗h+

d6d2y⊗x⊗v-d6d2y⊗v⊗x+d6d3y⊗u⊗v-d6d3y⊗v⊗u+d6d4y⊗x⊗u-

d6d4y⊗u⊗x+d6d5y⊗y⊗v-d6d5y⊗v⊗y+d6d6y⊗y⊗u-d6d6y⊗u⊗y+

d6b1u⊗u⊗x-d6b2u⊗y⊗v+d6b2u⊗v⊗y-d6b3u⊗x⊗v+d6b3u⊗v⊗x+

d6b3u⊗h⊗u-d6b3u⊗u⊗h-d6b4u⊗y⊗u+d6b4u⊗u⊗y-d6b4u⊗h⊗v+

d6b4u⊗v⊗h-d6b5u⊗u⊗v+d6b5u⊗v⊗u.

2 主要结果证明

由余分裂李代数上的Jacobi恒等式(1+ξ+ξ2)∘(1⊗δ)∘δ=0，得(1+ξ+ξ2)∘(1⊗δ)∘δ(u)=0.从而

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

同理，由(1+ξ+ξ2)∘(1⊗δ)∘δ(v)=0，可以得到

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

现在对上述结果做如下讨论：

第一种情况，d6≠0.此时由(3)加(8)式得

e1=d1，e2=d2.

(12)

再由(1)式，

(13)

把(12)，(13)式带入(3)式有

(14)

(2)减(6)式得

(15)

(16)

由此(3)式中

(17)

第二种情况，d6=0.此时由(4)式得

(18)

若d2≠0，有

(19)

因此(3)式中，

(20)

但由(5)式可得d5=0，这与(2)式矛盾.

[1] XIA LIMENG，HU NAIHONG.Introduction to co-split Lie algebras[J].Algebra and Representation Theory，2011，14：191-199.

[2] FARNSTEINER R.Lie algebras with a co-algebra splitting[J].Algebra Representation Theory，2011，14：87-96.

[3] XIA LIMENG.Note on co-split Lie algebras[J].Chinese Annals Mathematics，2012，33B(5)：651-656.

[4] 沈彩霞，夏利猛.一类Cartan型余分裂李代数的例子[J].东北师大学报(自然科学版)，2010，42(3)：17-20.

[5] 夏利猛，沈彩霞.具有非退化Killing型的余分裂李超代数[J].东北师大学报(自然科学版)，2009，41(4)：9-12.

[6] 夏利猛，胡乃红.A(m,n)型余分裂李超代数[J].数学年刊，2008，29(6)：1-4.

[7] 沈彩霞.内余分裂李代数的唯一性[J].东北师大学报(自然科学版)，2015，47(3)：40-43.

(责任编辑：李亚军)

A weak co-split Lie algebra without co-split structure

XIA Li-meng，BAI Lian-hua，ZHANG Yuan-jiao

(Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China)

It is proved that 5-dimensional Lie algebraL=sl2+Mis not a co-split Lie algebra.Therefore，a weak co-split Lie algebra is not always a co-split Lie algebra.

co-split；weak co-split；non semi-simple Lie algebra

1000-1832(2015)04-0018-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.004

2014-03-24

国家自然科学基金资助项目(11271131).

夏利猛(1976—)，男，博士，副教授，主要从事李代数研究.

O 152.5 [学科代码] 110·2125

A