对一道“世界思维名题”题解的探索

殷永梅　侯承慧

在华文出版社出版的《思维风暴》第282页上有一道名为“勘测员”的世界思维名题.题目大意是：有一块如图1所示的土地，要用一条直线把它分割成面积相等的两部分，应如何确定出直线的位置？为解题方便，不妨设图中小正方形边长为a.书上给出了一个简捷明了的答案，答案的正确性无可厚非.

仔细分析看到这一题目，我们认为答案并非唯一，应该还有其他答案.围绕“分割成面积相等的两部分”这一基本要求，对此题有多少题解进行了探索，按照由特殊到一般的思路，发现此题的答案有无限多个.

下面简述我们的解法和得到的结论：

1.顶点法

先确定图形上某一个角的顶点为所求直线上的一点，再在这个角所对的边上求出所求直线上的另一个点，过两点作直线即为所求.

例如：先确定点A，再确定点G（见图2），设AG分图1为两部分相等的直线，只要求出CG即可.

在梯形ABCG中，已知BC=AB=2a，由（AB+CG）BC2=52a2得（2a+CG）·2a2=52a2解之得CG=12a，这样就确定出了点G的位置，直线AG即为所求.

又如：先确定点B，再求出点H.在直角三角形BCH中，由BC·CH2=52a2得出2a（3a-DH）2=52a2，解之得DH=12a，点H随之定出，直线BH即为所求（图2）.

同理，可以求得符合题意的直线CK、FR（图3）、DM、EN（图4）.

2.任点法

先在图形的周边上任选一点为所求直线上的点，然后再在图形某边上求出另一个点的位置，就可得到所求直线.

例如：如图5，在BC边上任取一点P（暂时使BP=29a）为所求直线上的一点，再在图形的其他边上求出所求直线的另一点L，直线PL即可求出.

在直角三角形CPL中，由CP·CL2=52a2得1692a（3a-DL）=52a2，解之得DL=316a，点L的位置得以确定，便可求出直线PL的位置.

又如，如图5，在EF上取一点V为直线上的一点使EV=14a，再在其他边上求得直线上另外一点Q，直线得以求出.（设点L为过点V与ED平行的直线与CD的交点.）

由DE·EV+（VL+CQ）·CL2=52a2，得出14a·a+（a+CQ）·114a2=52a2，可求得CQ=711a，点Q的位置得以确定，直线VQ的位置得以求出.

3.中点法

把图形看作左右两个正方形，过它们的中心O7、O8的连线SW即为所求；也可把图形看作上下两个长方形，它们的中心连线O9O10也为所求（见图6，因矩形的重心在对角线的交点处，所以此法也可称之为重心法）.

4.割补法

在CD上取DH=12a，连接BH即为所求（如图7）.此种解法简捷明了.