高中数学函数概念教学略谈

吴问舟

概念教学是数学教学的一个重要组成部分。数学概念反映的是客观对象的数量关系和空间形式的本质属性，具有极强的基础性，是学习数学理论和构建数学框架的基石。中学数学教学《大纲》明确指出“正确理解数学概念是掌握数学知识的前提”。概念教学的效果如何，将直接影响学生对数学知识的理解和掌握，关系到学生解题能力的培养与提高。

函数是高中数学的重要内容之一，函数的思想和方法贯穿了高中数学课程的始终。同时，函数概念也是高中数学的难点。调查表明，很多学生对函数概念的掌握并不理想。每次考试过后，总有学生由于对函数概念把握不准，导致解题失误。

现行普通高中《课程标准》实验教科书（必修1）上采用的函数定义是：“设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A。其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域。

笔者认为，函数概念具有高度的抽象性，学生真正理解函数概念需要一个漫长的过程，需要在不同层次上、从不同角度给学生提供理解和巩固函数概念的机会。对函数概念的教学，应基于以下几点思考：

一、要使学生了解函数的形成过程

从历史上看，函数概念的产生经历了“变量说”到“对应说”两个阶段，函数概念来源于物理公式。在初中，学生学习过的函数概念，也是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。函数概念几乎等同于解析式。要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制。而如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究。例如：

f（x）=1，当x是有理数时，0，当x是无理数时。

对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么。但用集合、对应的观点来解释，就十分自然。

通过对函数概念历史发展的了解，既可以向学生渗透数学文化，也有利于让学生对函数概念了解更加全面，以激起学生对函数学习的兴趣。

二、要使学生理解函数的本质特征

函数的本质特征是“对应”关系。这种“对应”，正是函数的内涵所在。

1.函数的“对应”关系有三种形式

一是具体的两变量之间确定的对应关系，如函数的解析式；二是以列举方式给出两个变量之间的对应关系，如统计数表等；三是以曲线形式反映的两变量之间的对应关系，如一天中的气温随时间的变化图等。

2.函数的“对应”关系包含三层内容

（1）“非空数集A、B”——说明变量的存在性；（2）“两个变量x和y，x∈A、y∈B，某个确定的对应关系f ”说明函数是研究两个变量间的依存关系；（3）“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）（即y）和它对应”——说明有唯一确定的对应规律。

3.函数的“对应”关系具备三个要素

函数y=f（x）的记法，突出了函数的三个要素之间的依存关系。其中“f”是连接“x”和“y”的纽带。

（1）对应关系f下的自变量。在记法中，f的变量为x，这里应突出x的整体性，即整个x充当的f自变量，由于函数的抽象性及换元的数学思想，这里的x只是充当一个代表元，也就是说x可以表示单纯的x，也可以表示关于x的某个单项式，甚至可以是关于x的其他代数式。因此，对应关系f下的自变量，严格来说，是f后面括号内的整个变量式。这为以后进一步求抽象函数的定义域打下伏笔，如①已知f（x）的定义域为[a，b]，求f[g（x）]的定义域，就是求不等式a≤

g（x）≤b的解集；②已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求f（x）的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g（x）的值域。

（2）对应关系f下的函数值。y是x通过对应关系

f得到的，y值是相应x的值在对应关系f下的函数值。因为x只是一个代表元，因此对应关系f下的函数值y，严格来说，是f后面括号内的整个变量式的值通过对应关系f而得到的函数值。这也为以后进一步求复合函数的值域埋下伏笔。另外值域中的每一个值y，都能在定义域中“找到”一个或几个x的值与之对应，这又为以后利用方程思想求函数值域打下基础。

三、要使学生学会对函数概念的灵活运用

在学生理解了函数的本质特征即“对应”后，我们要在实践中使学生理解和掌握概念，引导学生运用函数概念去解决一些实质性的问题，培养学生运用概念分析问题与解决问题的能力，进而使学生在理解的层次上达到一个新的高度，在认识上得到升华。

例1：函数y=f（x）与直线x=a的交点个数为（ ）。

A.1个 B.2个 C.0个或1个 D.无穷多个

例2：函数y=x2和S=v2是否同一个函数？

例1是函数概念的升华，例2旨在让学生消除函数符号的神秘感。

以上对函数概念教学的几点思考，体现了概念教学应遵循“具体——抽象——具体”的教学原则，通过引导学生不断去发现、归纳、总结，以至于使学生能更全面、正确地掌握函数的概念。