两点测角前方交会的精度探讨

王姜华

摘 要：文章通过建立假定坐标系来推导两点测角前方交会的坐标计算和点位精度分析公式。同时，探讨了影响点位精度的相关因素，得出了使得交会点达到最佳精度的条件。能为相关测量工作提供借鉴。

关键词：角度；前方交会；精度

引言

前方交会是测量工作中常用的一种测量方法，它在控制点加密、工程测量、变形监测等测量工作中有着广泛的应用[1]。而随着测量技术的发展，全站仪的测量精度越来越高，已基本取代了传统的经纬仪测量。同时测量机器人的出现使测量工作变的更为方便和简洁，也相应的减少了人为观测误差。这些高精度测量仪器应用于前方交会中也相应的提高了交会点的精度。比如运用高精度全站仪结合前方交会进行控制点的加密和工程测量相关工作，使用测量机器人结合前方交会来进行变形监测。笔者结合实践经验，推导了两点测角前方交会的坐标计算及点位精度分析公式。探讨了影响交会点点位精度的相关因素。

1 图形与公式推导

1.1 定义与图形

如图1，A、B为坐标已知的控制点，P为待定点。在A、B点上安置经纬仪或全站仪，观测水平角α、β，根据A、B两点的已知坐标和α、β角，通过计算可得出P点的坐标，这就是测角前方交会。

图1 两点测角前方交会图形 图2建立假定坐标系

1.2 坐标计算公式及推导

为推导出一种较为简单的计算两点前方交会坐标的公式，现建立以AB为坐标系横轴（Y轴）的X'AY'假定坐标系，与原坐标系的夹角为？琢'，如图2所示。设A、B、C三点在原定坐标系为X0Y中的坐标分别为（XA，YA）、（XB，YB）、（XP，YP）。在假定坐标系中则为A（0，0）、B（X'B，Y'B）、P（X'P，Y'P）。则根据图形几何关系可得：

（1）

由（1）中的两式则可得出在假定坐标系下待定点P的平面坐标值。然而，我们最终是要得到在原坐标系中的坐标真值。这之间实际就是一个坐标转换的问题，相应的就可以求得待定点P点的真实坐标值。

2 交会点的精度探讨

由前文（1）中两式可知待定点P在假定坐标系中的平面坐标，而交会点的点位中误差的大小和方向是不因坐标旋转而改变的。因此，文章在探讨两点测角前方交会的点位精度时，仍选择在假定坐标系中讨论。把起始点的平面坐标看成是无误差的，对（1）中两式进行微分得：

（2）

（3）

对以上两式进行化简得：

（4）

设P点的点位中误差为？滓P，在X'、Y'坐标轴方向的中误差为？滓■、？滓■则 由（4）两式根据误差传播定律[2]可得：

（5）

（6）

又由图2的几何条件可得：

（7）

将以上两式分别代入到（5）（6）两式，再由（7）式计算可得：

（8）

又因为m=m？琢=m？茁为测角中误差则：

（9）

由（9）可知，两点测角前方交会的交会点点位精度除了测角中误差m对？滓P有影响外，还有图元要素a、b、？酌也有影响。但为探讨交会角度对点位精度的影响，根据正弦定理对（9）式可得：

（10）

在（10）式中，测角精度m和SAB在一次交会测量中是一定的。因此，影响点位精度的部分为：

（11）

可以求出当R取最小值时，待定点的点位精度最高。因此，以R为目标函数来探讨α、β取何值时，函数R有最小值。可运用求自由极值的数学方法。即分别求R对α、β求偏导得：

（12）

（13）

令■=0，■=0，有：α=β

（14）

（15）

由上式可求得α=β=35°15′52″。则交会角γ=109°28′16″，R取最小值为0.844。此时，交会点的精度最高。

3 结束语

通过建立假定坐标系，推导出了测角前方交会的坐标计算和精度探讨公式。理论分析了交会点的精度影响因素，探讨了α、β大小不同对待定点点位精度的影响，能为测角前方交会的测量工作提供一些借鉴。通过文章的探讨可得出如下结论：

（1）在两点测角前方交会中，除了测角中误差m对待定点点位精度有影响外，还有图元要素a、b、γ也对之有影响。当交会角γ=109°28′16″且α=β时，交会待定点的点位能达到理论上的最佳精度。

（2）在实际测量工作中，应保证交会角γ处于90°附近，当γ<90°时α与β相差越大，R就越小从而待定点的点位精度就越高。当γ>90°时α与β相差越小，R就越小，精度也就越高。

参考文献

[1]武汉测绘科技大学《测量学》编写组.测量学（第三版）[M].武汉；测绘出版社，2000.

[2]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2006.

[3]郭振平.两点前方交会的精度分析[J].轻金属矿山，2005.