基于灰色马尔可夫链模型的水质预测

刘冰

摘要 GM（1，1）模型由于其原始数据的起伏性和无序性，预测结果不是很理想。针对这一情况，采用马尔可夫链模型对GM（1，1）模型结果进行优化，并应用该模型对太子河干流化学需氧量进行预测。结果表明，应用灰色马尔可夫链模型进行预测，化学需氧量成逐年下降的趋势，2012年实际化学需氧量为11.4 mg/L，结果在（9.97，12.59）的预测区间，说明应用灰色马尔可夫链对水质进行预测是可行的。

关键词 GM（1，1）；马尔可夫链模型；水质预测

中图分类号 S181.3；X8 文献标识码 A 文章编号 0517-6611（2015）11-259-02

水质预测是水环境研究的重要内容，其目的是预测未来的发展趋势，是水环境管理、保护和治理的一项重要的基础性工作。目前，常用的预测方法主要有时间序列法、灰色系统模型法、回归分析法、模糊分析方法、马尔可夫链方法、小波分析方法、人工神经网络方法等。在选择了某种预测方法的同时，既接受了该方法的优点，又默认了该方法的缺点。灰色模型预测由于其原始数据的起伏性和无序性，且原始数据的个数有限，难以将预测带限制在一个较小的范围之内，导致灰色预测模型在大多数情况之下是粗糙的[1]。国内外学者专家在灰色模型基础上，进一步运用马尔可夫链模型对其结果进行优化，即用灰色模型预测曲线来反映其发展规律，用马尔可夫链模型来反映波动规律，给出预测值的大体范围，两者相结合能很好地解决实际问题。笔者应用灰色马尔可夫链模型对太子河干流化学需氧量进行水质预测。

1 GM（1，1）模型

GM（1，1）模型是利用随机过程中的潜在规律性建立灰色模型对灰色系统进行预测，是基于GM模型作出的定量预测。目前常用的灰色模型包括GM（1，1）、GM（l，N）、GM（0，N）等。其中，GM（l，1）是基本预测模型，应用最为广泛。GM（1，1）模型的特点是利用单变量时间序列数据进行预测，将无规律的原始数据经过生成后，使其变为较有规律的生成数列再建模[2]。

笔者采用2002～2011年太子河干流化学需氧量的年度均值作为基础数据，对化学需氧量进行预测，以2012 年数据验证模型。2002～2011年太子河化学需氧量各年度均值分别为22.7、24.2、25.5、22.4、22.4、22.7、17.3、16.3、11.9、11.4 mg/L。

设原始数据：X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））=（22.7，24.2，25.5，22.4，22.4，22.7，17.3，16.3，11.9，11.4）。

1.1 X（1）为X（0）的1-AGO序列X（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n））。

其中，x（1）（k）=ki=1x（0）（i），k=1，2，…，n。Z（1）为X（1）的紧邻均值生成序列：

Z（1）=（z（1）（1），z（1）（2），…，z（1）（n））；

z（1）（k）=0.5（x（1）（k）+x（1）（k-1）），k=2，3，…，n）。

X（1）=（22.7，46.9，72.4，94.8，117.2，139.9，157.2，173.5，185.4，196.8）。

1.2 对X（1）作准光滑性检验由ρ=x（0）（k）x（1）（k-1），得ρ（2）≈1.066，ρ（3）≈0.54，ρ（4）≈0.31<0.5。

当k>3时，准光滑条件满足。

1.3 检验X（1）是否具有准指数规律由σ=x（0）（k）x（1）（k-1），得σ（1）（2）≈2.06，σ（1）（3）≈1.54，σ（1）（4）≈0.31。

当k>3时，σ（1）（k）∈[1，1.5]，δ=0.5，准指数规律满足，可以对X（1）建立GM（1，1）模型。

1.4 确定数据矩阵B，Y

B=

-12[X（1）（1）+X（1）（2）]1

-12[X（1）（2）+X（1）（3）]1

……

-12[X（1）（N-1）+X（1）（N）]1

YN=[X（0）（2），X（0）（3），…，X（0）（N）]T

1.5 建立GM（1，1）模型的微分方程

dX（1）dt+aX（1）=u

记系数向量=[a，u]T，用最小二乘法原理对求解：=（BTB）-1BTYN。

参数a称为发展系数，它反映X^（1）、X^（0）发展态势。

1.6 GM（1，1）模型的时间响应函数

X^（1）（t+1）=X（0）（1）-uae-at+ua

计算可得：

X^（1）（t+1）=-318.08e（-0.088k）+340.78。

拟合结果见表1。

1.7 模型识别检验由表1和表2[3]可知，化学需氧量的平均相对误差为8.74%，为3级精度。用GM（1，1）模型预测化学需氧量，预测精度为3级，勉强合格，这就需要应用马尔可夫模型进行修正预测。

2 灰色马尔可夫模型步骤

该模型针对灰色数据序列首先建立GM（1，l）模型进行趋势预测，然后利用马尔可夫状态概率转移矩阵预报方法对其预测值进行二次拟合，由GM（l，l）模型结果的一个预测数值，修正成为区间和概率组成的预测范围，增加预测的可信性[4]。具体步骤如下：

2.1 建立GM（1，l）模型X^（1）（t+1）=-318.08e（-0.088k）+340.78。

2.2 划分状态根据GM（1，1）模型求出相应的预测值X^（0）（k），然后求出残差ε=X^（0）-X（0） ，残差相对值为Δ=X^（0）-X（0）X（0）×100%。对残差相对值进行状态划分，求出残差相对值序列各值所对应状态，对残差相对值序列建立马尔可夫链模型。GM（1，1）模型的预测值和实际值的残差相对序列Δ（k）的范围为（-16.78%，21.76%）。对于残差相对值序列算出样本均值=1.9和样本均方差s=1n-1ni=1（xi-）2=11.52，采用均值-方差方法，根据实际情况，分成3个状态：E1=（-16.78%，-0.5s]，E2=（-0.5s，+0.5s]，E3=（+0.5s，21.76%）。即：E1=（-16.78%，-3.86%]，

E2=（-3.86%，7.66%]，E3=（7.66%，21.76%）。

2002～2011年太子河干流化学需氧量年数据见表3。

2.3 马氏性检验

χ^2=2mi=1mj=1fijlnP^ijP^*j

当α取0.05时，χ20.05（（3-1）2）=0.871 1。2>χ2α（（m-1）2），所以太子河干流化学需氧量序列具备“马氏性”。

2.4 计算转移概率矩阵计算一步转移矩阵：

P1=1/21/201/52/52/501/21/2

预测对象现在（2011年）处于状态3，那么下一年的绝对分布：

P（1）=（p0（1），p0（2），…，p0（n））P1=（0，0，1）1/21/201/52/52/501/21/2=（0，0.5，0.5）

于是2012年太子河干流化学需氧量最有可能处于状态2或是状态3。根据

Δ（k）=X^（0）（k）-X（0）（k）X（0）（k）

，则X（0）（k）=X^（0）（k）1-Δ，得出X（0）（11）∈（9.97，11.31）且概率为0.5，处于区间（11.31，12.59）的概率为0.5。实际监测中2012年太子河干流化学需氧量11.4 mg/L∈（9.97，12.59），结果在计算的范围内，比较准确。

3 结论

（1）使用GM（1，1）预测模型对太子河干流化学需氧量进行预测，预测精度为3级，勉强合格，主要是因为原始数据波动性较大。

（2）应用灰色马尔可夫链模型对太子河干流化学需氧量进行预测，预测结果是在一个区间范围内。灰色马尔可夫链模型由GM（l，l）模型结果的一个预测数值，修正成为区间和概率组成的预测范围，增加预测的可信性，提高了波动性较大的随机变量的预测精度。所以应用灰色马尔可夫链对太子河干流化学需氧量进行预测是可行的。

（3）经过预测，太子河干流化学需氧量年度均值是呈现下降趋势，说明太子河治理措施取得了一定的效果，需要进一步整治。

参考文献

[1] 林晓言，陈有孝.基于灰色-马尔可夫链改进方法的铁路货运量预测研究[J].铁道学报，2005，27（3）：16-19.

[2] 邓聚龙.灰色理论基础[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

[3] 于慧，孙宝盛，李亚楠，等.应用灰色模糊马尔科夫链预测海河水质变化趋势[J].中国环境科学，2014，34（3）：810-816.

[4] 刘次华.随机过程[M].武汉：华中科技大学出版社，2001.

责任编辑 李菲菲 责任校对 况玲玲