2.55乘100，结果竟不是255！

弥尘

很久以前，程序员成心文同学遇到了他编程史上的第一个浮点数误差Bug，这个Bug正如标题所述，在他的程序下2.55*100的结果竟是254.99999999999997，而非255。因为是初次遇到，所以他也不知道是怎么回事，但在请教中外俩.NET大牛无果后，他果断拍板决定“自己动手，丰衣足食”。

后来他终于找到了原因，简单地说：

计算机将小数部分0.55转换成二进制时会形成一个“0011”组合的无限循环，从而造成误差。解决办法是尽量用decimal类型替换double类型。

这位年轻的程序员将他的这次编程经历记录在了微博上，一不小心被小编扒了出来，于是IT之家就有了这篇关于“世界上只有10种人，一种懂二进制、另一种不懂”的文章（如图1）。

当然，除了上面的这位同学之外，小编还发现一位名叫周花卷的大牛也遇到了类似的问题，他在谷歌Chrome浏览器的开发者控制台（Win环境下F12/Mac环境按Command+Option+I可以打开一个“开发者工具”窗口，然后点上面的“Console”标签，你会看到一个控制台窗口）里输入“0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1”（一共10个0.1），按下回车后结果竟是0.99999999999999，这个问题同样也是二进制造成的（如图2）。

OK，下面进入正题，小编接下来要用更专业的解释来带大家飞，不懂二进制的也可以学习一下哈。

要搞清楚这个问题，我们先来理解一下进制的概念。在十进制中，一位数字我们可以使用0到9，比9多的时候就会变成10，这就是一个两位数了，也就是进位了，二进制也是一样，只不过一位数字只能使用0和1，再多就要进位了。那么进制的本质又是什么呢？我们随便拿一个十进制的数字来看一看（如图3）：

看懂了没？一个十进制数实际上就是其中每一位数依次乘以10的0、1、2…次幂（权重），然后再把结果加起来，那么以此类推，二进制里面就是把上面的10换成2呗，我们来看一个（如图4）：

于是二进制数1001也就是十进制数的9。到这里似乎还没什么问题，因为我们只讨论了整数呢，每一个十进制整数都可以转换成一个二进制整数，反过来，每一个二进制整数也都可以转换成一个十进制整数。不过，如果把小数也加进来呢？先看一个十进制的小数（如图5）：

看懂了没？其实就是把10上面的指数变成了负数而已，不难吧。那么以此类推，二进制的小数也就是把10换成2呗，我们来看一个（如图6）：

上面我们理解了进制的一些本质特性，算不过来也没关系，我们暂且先不管它，不过，这跟我们遇到的问题到底有什么关系？别急，我们再看一下当引入小数之后，进制之间的转换到底出了什么Bug。我们知道实数的数轴是连续的，每两个数字之间的部分是可以被无限分割的，举个例子，0和1之间的这部分，如果用十进制一位小数来分割的话，可以分成10份，也就是0.1、0.2、0.3……0.9、1，如果用二进制一位小数来分割的话，则只能分成两份，也就是0.1（十进制的0.5）、1。你发现了什么问题？无论小数点后面增加多少位数字，二进制永远只能以2来分割数轴，而十进制则是以10来分割数轴。

让我们回想一下小学的数学知识，在十进制中，如果要用有限小数来表示一个分数的值，那么这个分数的分母（化简之后）一定不能包含除了2和5以外的其他质因数，因为十进制以10来分割数轴，而10分解质因数的结果为2×5。举个例子：1/8、1/10、1/25都可以换算成有限小数（分别是0.125、0.1、0.04），因为这些分数的分母分解质因数之后只包含2或者5（8=2×2×2、10=2×5、25=5×5），而当分母包含其他质因数时，例如1/3、1/7、1/18这些则无法用有限小数来表示（也就是俗话说的“除不尽”）。如果我们把这个规律套用到二进制上会怎么样呢？2本身就是一个质数，无法分解质因数了，因此在二进制中，如果要用有限小数来表示一个分数的值，那么这个分数的分母一定只能包含2这一个质因数，换句话说，分母必须为2的幂（2、4、8、16、32……）。

好了，我们回头看看开头的题目，0.1换算成分数就是1/10，而1/10的分母是10，10并不是2的幂，因此，在二进制中并不能用有限小数来表示1/10这个值。事实上，如果将0.1转换成二进制，我们会得到一个无限循环小数：0.000110011001100……看到这里，很多人估计已经想明白了，没错，计算机的精度是有限的，并不能直接处理无限小数，对于无限小数必须要截短到某个位置把它变成有限小数，但截短之后这个数就不准了，必然就产生了一点误差，而连续加10次会将这种误差放大，当误差被放大到一定程度时，计算的结果就会出问题了，于是我们就看到了开头的那一幕。如果用十进制来类比的话，大家可以想象一下，1/3+1/3+1/3=1，但1/3只能用无限循环小数来表示，即0.333333……，如果我们将它截短到某一位，假设截到0.333，那么0.333+0.333+0.333=0.999，你看，同样也会出问题。

问题的原因总算搞清楚了，不过感觉很坑爹啊，计算机居然算不准小数，但为什么平时大家很少因此遇到问题呢？那是因为大多数用户都不用编写程序，但对于整天编写程序的程序员来说，这样的问题其实经常遇到。比如说，如果你在一段程序中需要让计算机判断0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+ 0.1+0.1+0.1是否等于1，计算机会告诉你不等于1，坑爹吧？如果这段程序涉及算钱，有时候就会错得很离谱，因此有经验的程序员在碰到小数计算的时候都会特别小心。当然，作为一般用户我们平时根本不需要关心这样的问题，不过计算机居然会算错数，怎么想都觉得挺奇妙的吧？