创建“实验场” 分享“思维流”

陈美华

摘要：数学是思维的体操，发展思维可以说是数学教学的核心任务。学生参与知识的形成与发展的过程及解决问题的过程，即为学生的思维活跃流动的过程。基于数学课堂生活方式的变革与创新研究，以数学实验课程建设为抓手，依托数学实验教学，从问、做、写、辨、理等方面入手，让思维可视化，能更好地分享学习主体思维的流动过程。

关键词：数学实验;思维过程;共同分享

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）11A-0070-04

小学阶段正是具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，学生需要充分的感性体验与积累，由此形成表象，逐步提升抽象水平。如宋代诗人陆游所言“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，儿童的认知规律要求教师为学生创设“做数学”的实验平台。经一年多的实践研究，我们发现适时适度地推进数学实验教学，让学生在“做数学”中亲历知识的形成与发展过程，更利于化无形为有形，分享学生思维的动态过程，促进学生获得深刻的数学理解。

一、问一问，问题质疑引领思维方向

问题是思维的核心，孔子说“不愤不启，不悱不发”，杜威先生也说，教学生的法子，先要使他发生疑问[1]。数学实验的展开是有一定目标的，而目标直接体现于课堂的方式便是问题。因此引领学生在巧妙创设的问题情境下或在自主进行问题质疑的过程中展开数学实验活动，是良好课堂开端的重要一步，能准确引领学生的思维方向。

如在进行“平行四边形面积的计算”教学时，教师以化归即转化思想为灵魂，巧设了两次引发学生问题质疑的契机，从而激发了两个层次的实验研究活动。

第一层次，在看图口答长、正方形面积并回顾复习了两图面积计算方法后，教师引发学生质疑思考：我们还学过哪些平面图形，想想今天可能会研究哪个平面图形的面积计算方法，研究前你会思考哪些问题。经过开放交流与问题聚焦，教师发现很多学生会选择平行四边形，同时他们提出了自己的问题质疑：既然长方形面积的大小与长、宽两条件有关，那么决定平行四边形面积大小的会是哪些条件？平行四边形面积的大小与这些条件有什么关系呢？是不是也可以像长方形一样用数方格的方法来研究？我们围绕学生自主提出的问题，很自然就启动了学生四人小组合作的第一次实验活动：①自己在方格图上画一个平行四边形，数数平行四边形的面积以及它的底与高的长度，它们有关系吗？②平行四边形的面积与它的底与高到底有怎样的关系呢？学生用数格子法初步发现这些特殊平行四边形的面积计算方法：平行四边形的面积=长×宽。

第二层次，由初步发现启发质疑，研究这几个特殊平行四边形得到的计算方法一定正确吗？引发学生再次思考质疑：不一定吧，还应研究更多的更一般的图形，看看它们的面积大小是否也是由底与高决定的，是不是也可以这样计算？由此让学生将研究若干特殊图形的发现作为一种猜想，顺利进入第二层的实验活动：①平行四边形可转化成已学过面积公式的哪个图形？②转化后的图形与原来平行四边形有什么关系？③由上面的关系，你发现刚才的猜想正确吗？

上述过程可见，教师对教材的编排做了适当的变革创新，在激活学生已有知识基础上，为学生创设了自主质疑的空间，以旧知长方形面积的联想类比激发学生展开第一层实验：用数方格方法进行特殊图形的关系与计算方法研究，以转化思想方法的运用鼓励学生展开第二层实验活动：用割补方法进行一般图形的关系与计算方法的推理研究。层层递进的问题质疑与方法猜想，不仅激发了学生参与实验活动的内驱力与情感，也有效引领着思维的方向。

二、做一做，行动探究体验思维脉搏

荷兰数学教育家弗赖登塔尔反复强调：“学习数学的惟一正确方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”[2]数学实验追求的更重要的东西就是让学生自己去充分探索、发现和创造，并由此享受解决问题的思维乐趣。因此实验活动要提供充分的时间与空间，让学生行动起来，通过做一做，来体验思维脉搏，推动思维进程。

如“分数除以分数”是分数四则运算的教学难点，在基于学生“可能是与分数除以整数或整数除以分数一样，也可以转化为乘法计算”这一猜想基础上，教师设计了让学生“做数学”的数学实验活动：①想一想：自己想办法验证你们的猜想。②说一说：把你们的方法在小组里交流分享。让学生在开放的时空中展开充分的探究，形成学生个性化、多样化的体验与认知，再通过小组交流分享不同个体的智慧。从教师巡视观察到的学生原生态、多样化的验证方法中（如图1、图2），我们可以感受到他们亲历探究过程的思维脉搏：化小数计算、画图思考、用分数单位组成来思考、用想乘法推理逆运算除法结果、用商不变的规律将分数除法转变为整数除法计算。

原生态的“做数学”过程，不由让人想到美国华盛顿图书馆大门口的几句话“听见了就忘记了、看到了就记住了、做过了就理解了。”也印证了陶行知先生“行是知之始，知是行之成”的要义。确实，只有亲自做过了，实践过了，抽象的数学理解才会变得丰富而生动。

三、写一写，撰写报告留下思维轨迹

数学实验研究的过程，有时是动手操作成分居多，如图形与几何或综合与实践等领域，有时是静思默想居多，如数与代数领域等。不管哪一种都是伴随着数学思维的动态进程，数学家G.波利亚曾说“抽象的道理很重要，但要用一切办法使它们能看得见摸得着”[3]。而思维的内容仅凭脑子记忆是有限的，因此大部分的数学实验，需要实验方案或是涵盖方案的整合性实验报告作为实验支撑，通过学生写一写，记录下思维流动的轨迹。

如“和与积的奇偶性”一课是新增的“找规律”内容。基于内容“研究两个非0自然数和的奇偶性”（如图3）、“研究多个非0自然数和的奇偶性”（如图4）、“研究若干个非0自然数的积的奇偶性”（如图5），教师进行了逐步递进的数学实验设计，并且以三个不同层级的实验报告记录学生的思维轨迹。

由图可见三份实验报告结构类似，都有四个层次。但三个实验中举例的设计与结论的表达，从设定格式到半开放再到完全开放，让学生经历了实验研究方法类比迁移的过程，体现了教者“教结构用结构”的前瞻理念。而从“他组织”走向“自组织”的学生书面表达更是化无形为有形，真实刻画了学生思维轨迹。这样的记录无论正误，都成为后续小组、组际乃至全班交流思辨的鲜活灵动的差异性资源。

四、辨一辩：分享成果激发思维碰撞

实验活动之后有个重要环节，即交流分享实验活动的成果或收获。因个体认知水平、个性特点的不同，研究成果也会有层次、有差异。因此实验之后教师要创设民主平等的交流氛围，促进思维轨迹的展示与成果的全面分享，更要抓住契机，激发学生的思维碰撞，鼓励学生主动求异创新。

如“认识长方体与正方体”一课，教师先引导学生通过长方体形状实物的触摸，整体感知长方体面、棱、顶点的概念与数量特点。然后适时出示四棱台的模型（如图6）引发学生自主提问质疑：是不是所有具有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形都是长方体呢？为什么？此刻，学生只有一些短时浅层、点状零散的发现：有的面不是长方形;有的棱长度不相等;有的角不是直角……于是他们便跃跃欲试地进入了图形精细化特征的实验研究环节：①长方体的面到底有哪些特点？棱又有哪些特点？②你是怎么研究发现的？③小组交流分享你们的发现与研究方法。

在学生亲历研究过程得出面与棱的一般特征之后，反馈思辨四棱台是否长方体的头脑风暴尤为激烈。他们有的能如教材呈现的基本特征一般，从面的形状与大小关系、棱的长短关系阐述四棱台不符合的理由;还有的能融通教材，从棱的位置关系阐述理由，如长方体相对的四条棱互相平行，或是相交于一个顶点的三条棱两两互相垂直;更有一些学生能超越教材，将棱的位置关系迁移到面的位置关系，如长方体相对的面也是互相平行的，相交的面是互相垂直的……进而推断四棱台不是长方体。交流思辨中所分享的不仅有立体化建构的学科知识，还有多样的方法与研究品质，如他们不只是停留于表面的观察想象（我看出来……），还有严谨的测量求证（我测量了……发现……），更有高层次的推理论证（光是看还不太科学，测量也会有误差，我是依据……，推理出……）。

显然上述交流分享、思维碰撞的过程，也凸显了社会建构主义的学习观，虽然知识是个体主动建构的，但也不是任意建构，而是需要与他人磋商并达成一致来不断加以调整和修正[4]。所以开展数学实验活动，教师不仅通过①②两个研究问题导引个体与物理环境的相互作用，更设置活动要求③通过学习共同体的合作互动来修正完善学生的意义建构，即通过学习者主动、积极、互助地共同参与实现智慧共享。

五、理一理，整体建构促进思维提升

义务教育数学课程标准的学科教学内容已从学科本位的“双基”拓展至综合素养培养的“四基”，即增加了基本的数学思想与方法和基本的数学活动经验[5]。在当前社会，这两基的强化更能凸显数学实验对于培养学生创新意识和实践能力的重要性。江苏省教研室王林老师在教材修订培训会上特别指出：帮助学生积累数学活动经验是教材修订的重要任务，数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，需要在不断经历、体验各种数学学习活动的过程中逐步积累。因此教材很明显的变化就是在核心教学内容之后增加了反思环节，如“回顾解决问题的过程，你有什么体会？”“回顾发现……的过程，你有哪些收获？”等。而课本预设或希冀的答案，有知识层面的，有方法层面的，也有数学思想层面的。

如“认识长方形和正方形”，教师立足教结构用结构，设计了两个层次的实验活动与反思跟进。

第一层次研究长方形特征。学生在教师适时引领下充分经历“提出猜想—进行验证—得出结论”的探究过程，随后进行第一层反思：刚才你们是从哪几方面研究长方形特征的？是怎么研究验证的？你们经历了怎样的学习过程？学生很自然地从边与角着眼的知识结构、折一折量一量比一比的方法结构、经历“提出猜想—进行验证—得出结论”的过程结构进行了梳理反思，并由研究多个大小不一的长方形提炼出特征，体验数学归纳的思想方法。

第二层次研究正方形特征。上述实验活动的反思，很自然促进了学生后续实验活动的灵活迁移：也能像刚才那样去研究正方形的特征吗？让学生自主经历“提出猜想—进行验证—得出结论”的探究过程。之后教师又请学生基于头脑建构的表象思考比较：闭上眼在脑中想象长方形和正方形，它们的特征有什么相同的地方和不同的地方？正方形具有长方形的所有特征吗？在比较梳理中沟通图形内在联系，并以韦恩图整体建构长方形与正方形概念，初步体会集合的数学思想。

鼓励实验活动之后的反思梳理，能促使学生形成对数学中一类知识的整体认知，促进学习策略与思想方法等的深刻内化，实现思维方式、思维品质的整体提升，养成愿倾听、敢质疑、善合作、乐表达的品行，并迁移于后续学习活动，更好体现“教是为了达到不需要教”[6]的长远效应。

参考文献：

[1]方明.陶行知教育名篇[M].北京：教育科学出版社，2005：8.

[2]张吉红.小学数学教学的几点探索[J].学周刊，2011（16）.

[3]董林伟.初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013：序3.

[4]王文静.社会建构主义研究[J].全球教育展望，2001（10）.

[5]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：3.

[6]叶圣陶.如果我当老师[M].北京：教育科学出版社，2012：75.

责任编辑：石萍

Experimental Field and Students' Mathematics Thinking Development

CHEN Mei-hua

（Changzhou Experimental Primary School， Changzhou 213003， China）

Abstract： Mathematics is the thinking gymnastics and thinking development is the core task of mathematics instruction. Students should be involved in formation and development of knowledge and problem solving， which is also the process of their thinking dynamism. Based on research into reform and innovation of mathematics classroom life styles， teachers should construct experimental courses and carry out experimental teaching from the aspects of asking， doing， writing， debating and reasoning so that thinking could be visualized for a better sharing of thinking dynamism by students.

Key words： mathematics experiment; thinking process; sharing