有限群早期研究的开拓者

胡俊美　杨静

19世纪末，尽管数学这门古老的学科已历经了两个世纪的蓬勃发展，但在这场洪流中闻名遐迩的美国本土数学家并不多见，米勒（George Abram Miller，1863-1951）是其中最引人注目者之一。米勒的聪明睿智、独立的判断力与高超的创造力，使他一生在11个国家的30多种杂志上发表论文820多篇，其中约450篇为群论学术论文，其他涉及教育、数学史等各个领域，有力推动了美国的数学发展。

半工半读求学路

1863年7月31日。米勒出生于美国宾夕法尼亚州一个名叫林维尔（Lynnville）的小村庄。他的祖父是基督教徒，1720年举家从瑞士迁往美国定居。父亲内森·米勒（Nathan Miller）和母亲玛丽·西特勒（MarySittler）是地道的农民，一家过着贫穷拮据的生活。

未雨绸缪，米勒17岁就在当地的一所公立学校任教，以便将来有足够的经济能力来支付大学费用。1882年，米勒考入兰开斯特（Lancaster）的富兰克林一马歇尔学院，两年后，又考入米伦伯格（Muhlenberg）学院。这所学院创建于1848年，坐落在宾夕法尼亚的阿伦敦（Allentown），致力培养学生独立的思考能力和雄辩能力，米勒非常喜欢这里的学习氛围。1887年，他以在班里12名同学中排名第三的优异成绩获得学士学位，1890年获得文学硕士学位。这时，他已经27岁了。相对于其他数学家或科学家而言，未免显得大器晚成，但考虑到他一直都是靠自己赚钱来维持学业就不足为奇了。事实上，1887——1888年间他曾担任堪萨斯州一所学校的校长，1888-1893年间一直担任位于伊利诺伊的尤里卡（Eureka）学院的数学教授。

1890年，米勒到坎伯兰（Cumberland）大学攻读博士学位。坎伯兰大学的数学教授是一位土木工程师，闲暇时进行大地测量，绘制美国海岸线地图，通过信件教授高等数学课，学生以自学为主，毕业时不必写出原创性的学位论文，只需通过高等函授课程的考试就能获得学位。这对一直还要在尤里卡学院忙于教学的米勒来说最合适不过，因为当时他每天要给学生上课6小时。1892年，米勒获得坎伯兰大学函授哲学博士学位，成了尤里卡学院唯一一位具有博士学位的教师。受坎伯兰大学的启发，他在尤里卡学院也设置了类似的函授博士学位。

初涉群论显锋芒

1893年，米勒离开尤里卡学院，直到1895年一直在密歇根大学任讲师，其间住在科尔（F.N.Cole，1861-1926）位于密歇根安娜堡的家中。科尔是有限群论的大师，正是科尔的指导与鼓励激发了米勒对群论的兴趣，以致将其作为终生从事的事业，他以前人无法企及的速度取得累累硕果。值得一提的是，1889年夏和1890年夏。米勒曾分别在约翰斯·霍普金斯大学和密歇根大学访问过一段时间。1889年，博尔扎（O.Bolza）在约翰斯·霍普金斯大学发表一系列群论演讲，但米勒似乎并没有和那里的数学家有过接触。另外，米勒可能在1890年的夏天遇到了科尔，但从他在尤里卡不断增长的课时量以及并没有在那里开设群论课这两点来判断，可以相当肯定他的注意力在那时并没有转向群论。

1894年，初涉群论的米勒在《纽约数学会通报》第3卷上连续发表两篇论文，完全确定出200个8次代换群和258个9次代换群，一夜成为数学界的名人。低次代换群的列举工作开始于1850年代。1850年，法国数学家赛雷（J.A.Serret，1819-1885）给出所有5次及5次以下的代换群，共19个，吹响了低次代换群研究的号角。凯莱（A.Cayley，1821-1895），这位被誉为自牛顿之后最伟大的英国数学家，1891年宣布自己找到了所有8次代换群。然而科尔很快发现其中的漏洞。经过补充于1892年重新给出一个列表。受科尔影响。米勒再次对这些结果进行考察，共找到了200个8次代换群，而且其中有两个是前人一直没有发现的。此外，1872年法国著名数学家、群论专家若尔当（C.Jordan，1838-1922）自认为列举出所有9次本原群，1893年科尔也列举出所有9次群。米勒又一次发现其中的漏洞，1894年的文章表明，他找到了若尔当遗漏的1个群和科尔遗漏的2个群。不仅如此，1895年，米勒独立列举出994个10次非可迁群，这样当时10次可迁群和不可迁群的总数上升到1039个。米勒的列表至今仍完美地屹立于世界数学之林。1900年，克拉科夫科学院把自1896年一直空缺的科学院大奖授予米勒。以表彰他在10次可迁群方面的工作，这是此奖项首次授予在纯数学领域取得巨大成就的美国人。

值得指出的是，米勒1894年进入数学界时，数学在很大程度上还是欧洲人的世界。美国才刚刚站稳脚跟，享有国际盛誉的美国本土数学家极为罕见。美国知名大学的数学教授都是从欧洲（特别是德国）学成归国。而且当时条件比较简陋，除了少数几个院校外还没有数学图书馆，如当时伊利诺伊大学的数学书只能放在一个15英尺（1英尺=0.3048米）高的架子上。

群论领域硕果累累

1895-1897年，米勒在欧洲听李（S.Lie，1842-1899）在莱比锡和若尔当在巴黎的群论讲座。李关于“群和不变量”的讲座包含的群论太少。基本都是不变量理论，米勒兴趣不大，听了两次之后就没再做笔记。但他对李非常仰慕，他说正是由于李，让他系统考虑了换位子和换位子群。他对李的连续群的态度实质上与李对有限群的态度是一样的——宽容和尊重，但没有热情。米勒听了一年若尔当的讲座，与李不同，若尔当感兴趣的是群的本原性和非本原性，米勒余生一直都在研究这些问题。但是如果说若尔当对米勒产生了重大影响也不可信，因为米勒一直都是用自己的方法研究自己的问题，从没致力于说明和解释若尔当的工作与方法。直到回国那年年末，米勒在美国、英国、法国和德国的数学杂志上发表27篇论文。到1900年，他成为美国群论领域最知名的研究人员，到了1910年，他成为该领域无人企及的人物。抛开群论，在整个数学领域，米勒1903年于美国前80名数学家中排名第十。

如果把米勒与科尔、李及若尔当的密切联系看作是环境对米勒研究工作的影响，那么米勒余生的工作则可以看成是他对环境的影响。除了前面在尤里卡学院（1888-1893）、密歇根大学（1893-1895）任职外，1897-1901年他任康奈尔大学讲师，1901-1906年任斯坦福大学助理教授和副教授，1906-1951年间。先后任伊利诺伊大学副教授、教授和荣誉教授。培养了包括美国统计学家里茨（H.L.Rietz，1875-1943）在内的14位博士研究生。

自1894年的两篇论文之后，仅1895-1896年间，米勒在《美国数学月刊》上连续发表论文14篇。斯劳特（H.E.Slaught）在1912年的一封信中写道：“事实上，我不知道如果没有米勒的合作我们（美国数学月刊）应该做点什么。以我判断，他正在做一件非常有价值的工作。”1994年，《数学世纪：从美国数学月刊回望数学百年》描述道：“截止到1930年，米勒共在此刊上发表文章70篇，至今没人能够打破这一纪录。”

米勒自1895年列举出10次不可迁群之后，1901年他和学生林（G.H.Ling）合作列举出1492个11次非可迁群；1896年他列举出12次可迁群，1897年列举出13和14次可迁群以及15次本原群，1898年列举出16次本原群，1899年列举出17次可迁群。诚然，确定所有代换群是包括凯莱和若尔当在内的许多数学家感兴趣的课题，但是没有人沿着米勒开辟的道路继续前行，因为更高次代换群的列举显然需要计算机的帮助。如果米勒不过早地对抽象群感兴趣，凭着他的坚持与努力或许能够继续研究17次以上的可迁群。

每个抽象群都可以唯一表示为一个正则代换群，即可迁且次数与阶相等的群。米勒最初关于抽象群的工作正是从正则代换群的角度展开的，而且他终生都是通过正则代换群来研究抽象群的某些性质。1896年，米勒的第一篇抽象群论文发表，他给出了48阶以下的所有群，首次确定了15个24阶群和51个32阶群。凯莱早在1854年就着手研究所有低阶抽象群，他证明只有两个4阶和6阶群，1859年他又证明存在5个8阶群，1889年证明存在5个12阶群。1893年，博尔扎的美国学生扬（J.W.A.Young，1865-1948）和德国数学家赫尔德（O.L.HSlder，1859-1937）两人独立找到14个16阶群。比米勒稍早些，1896年，法国数学家瓦瓦瑟尔（Le Vavasseur）在《法兰西科学院周刊》（Comptes rendus de l'Academie des Sciences）上宣称找到了75个32阶群，但还没有找完。两年后意大利的巴格内拉（G.Bagnera）宣称瓦瓦瑟尔和米勒的结果都不对，应该有50个32阶群，但第二年，他更正为51个。1898年，米勒确定出52个48阶群和15个54阶群；1902年，他确定出57个168阶群；1929年确定出72阶群和96阶群。1930年，米勒在一篇长篇论文中列举出有294个64阶群，他估计128阶群应该有1000多个。后人沿着米勒的足迹继续进行研究，一直列举到160阶群。

米勒及其前人的工作反映了群论发展初期人们研究的一种不正确导向，即对每个正整数n，确定出互不同构的所有n阶群。实际上，这是一个永远也回答不完的问题，随着阶的增加，计算量越来越大，出现错误的概率也越来越高，特别是如果通过手算，连256阶、512阶群的列举都根本难以做到，他们的研究方法不可能从根本上变革有限群理论！

值得一提的是，由于对抽象群的兴趣，米勒成为有限单群列举阶段的一个重要人物。有限单群是有限群中最基本的结构，在有限群论中占有特别重要的地位，一旦了解所有有限单群，便能通过群的扩张对所有有限群做行之有效的分析与研究。这样找到所有有限单群便成了一个亟待解决的问题。米勒最初认为，即便这个问题并不简单，但肯定可以找到答案，然而后来他发现自己错了。事实上，这项工作直到2003年才真正完成。即证明了著名的有限单群分类定理。这是世界各地上百名数学家集体攻坚的结果。整个证明过程长达10000-15000页，以不同的风格发表在500多篇文章中，其难度可想而知！

1892年，赫尔德在一篇文章中证明1-200阶的群中仅有两个单群，而且写道：“如果能找到所有有限单群，将是一件非常有意义的事。”赫尔德的工作是对单群寻求的一个重要开端，点燃了其他数学家的研究热情。同年，科尔遵循赫尔德的路线研究了201-500阶的单群，1893年他又将阶上升到660。1895年，英国数学家伯恩赛德（W.Burnside，1852-1927）进一步推广到1092，但遗憾的是，除了发现1092阶单群外没有发现任何一个新的单群。1900年，米勒和他的学生林合作证明在1093到2001阶之间不存在任何单群。1922年，他又找到一个2520阶单群。

此外，米勒在有限单群研究中另外两项工作也在数学家心中留下了深刻的烙印。首先是在5个散单群马蒂厄群M11、M12、M22、M23和M24中，除了M11的单性由科尔证明外，其他四个群的单性全部由米勒在1899-1890年间完成，而且M24的阶高达244823040！在当时它们是除已知的有限单群无限系列之外仅有的单群，下一个散单群直到1966年才由捷克数学家扬科（Z.Janko，1932-）确定出来。另外，米勒在1900年证明，如果一个奇的合数阶单群存在，它不可能用少于51个字母的代换群来表示。如果后人能够很快找到一个奇的合数阶单群或者证明没有这样的单群存在，这件事也许就被遗忘了，但这个问题也是60多年后才从本质上得到解决。1963年，数学家法伊特（W.Feit，1930-2004）和汤普森（J.G.Thompson，1932-）合作撰写《奇数阶群的可解性》，证明了除循环群之外，没有奇数阶的单群。1965年。他们因此项工作荣获美国数学会颁发的科尔奖。汤普森还获得了菲尔兹奖和沃尔夫数学奖。

在米勒发表的400多篇群论的学术论文中。还涉及多面体群、换位子群、φ子群、群同构以及特征子群等，影响深远。他没能解决的问题中有许多为后人指明了前进的方向。他从来没有试图得到一个叙述起来非常复杂以至其他人都看不懂的结果。他也从来没有感兴趣于把一个问题翻译成新的问题。除非能够在此取得开创性的成果。他凭着自己的聪明睿智和坚强的意志，在科学道路上奋勇前行。

其他成就

当米勒触及自己的研究方向——群论特别是有限群时，他还是一个优秀的历史学家。事实上，他研究历史的时间比研究群论的时间还要长（1890年他率先在尤里卡学院设置数学史课程）。米勒写了很多群论早期发展史的论文，大多收录在《米勒全集》第一、二、三卷。在第一卷中是关于确定给定次数的代换群的历史注记、确定给定阶的抽象群的历史注记，以及1900年前的群论历史。在第二和第三卷中是1915年前群论的发展史。1899年他发表的《有限群论中的最新进展报告》与时俱进，收录了最新研究成果，与三年后的另一个报告一脉相承，无论对以后研究群论的学生还是历史学家而言都非常重要。此外在1916年，他著有《数学文献历史引论》。

谈到数学史，米勒教授提出几点基本要求，总结如下：（1）对时期要有明显划定；（2）描述数学问题时，那些与常规语言和语法结构相背离的地方应该标出；（3）读者一定不要采用没有经过核实的论断；（4）初学者必须能够区分临时假定与既成事实；（5）数学史和数学的许多进步在于对错误的反复修正；（6）历史论述往往能提供给人很多信息，学生应该从一个论述中得出大量结论。米勒的《数学文献历史引论》是这方面的一个典范。

米勒还主编和参编了数学专业著作。1892年米勒为尤里卡学院的高等代数课程专门编著了《行列式》；1911年，在扬主编的著作《现代数学专论》中，米勒参编了“代数方程”部分；1916年，他与布利奇费尔德（H.F.Blichfeldt）、迪克森（L.E.Dickson）合著《有限群理论与应用》。

除了这些研究工作外，米勒写了一些其他方面的文章，如《现代数学研究的几点思考》、《科学研究中的数学作用》，试图激发中小学教师学习数学，唤起他们对高等数学特别是群论的注意并进行研究。

高尚的品德

米勒一生在11个国家的30多种杂志上发表论文800多篇。1931年，在米勒从伊利诺伊大学退休之际，伊利诺伊大学的教员和行政人员都在考虑如何寻找一种方式来纪念米勒对数学和学校声望上做出的巨大贡献。不久大家达成一致，出版一套全集，重现他对数学的贡献。这不仅是对米勒的赞颂，还可以服务于数学，服务于现在和将来研究群论的学生。1933年支持这项计划的伊利诺伊大学代校长、原研究生院院长丹尼尔斯（A.H.Daniels）成立一个委员会专门承担此项任务。1935年，《米勒全集》第一卷问世，1939年、1946年、1955年和1959年第二、三、四、五卷相继出版，每卷都将近500页。

作为美国最伟大的数学家之一，米勒的地位是值得肯定的。除了众多的论文和著作说明他的非凡才能与卓越创造力之外，我们还可以用一种世俗的标准来评判，那就是他获得的荣誉。1891年10月，米勒当选为纽约数学会会员，1894年纽约数学会更名为美国数学会，1900年他成为终身会员，1908年任副会长。此外，他还是英国数学会会员、德国数学会会员、西班牙数学会通信会员和印度数学会荣誉终身会员。他是美国数学协会主办者之一，1916年担任副会长，1921年担任正会长。此外，他还是美国文理科学院和美国国家科学院院士。

1931年退休后，米勒仍无论节假日、无论天气，早中晚惯常来到办公室研究和写作。这种习惯一直延续到1950年圣诞，这时他已经87岁了。而且退休后他仍以异于常人的速度继续发表文章，1935-1944年他发表论文18篇，1947年他81岁时又发表10篇，84岁发表论文2篇。

1951年2月10日，米勒在伊利诺伊州的厄巴纳（Urbana）去世，享年88岁。去世前的那周，当他在朋友的敦促下去医院时，他还问到谁将支付这笔费用。不熟悉的人还以为他靠退休金生活，替他担心。但几周之后，报纸和收音机竞相报道米勒捐赠伊利诺伊大学近一百万美元的遗产，这是他多年来做金融投资的全部收入。他解释了他的动机：“我所得到的一切都来自于这所大学，我想报答这种恩惠！”

很少有人能像米勒那样出版一系列的优秀作品。他是一个谦虚、慷慨的美国人，具有正直、坚定的品质，加速了群论的研究进程，极大地提高了美国数学的声望。他激励其他学者不断前行！