关于“通性通法”的思考

☉江苏省白蒲高级中学 吴志勇

关于“通性通法”的思考

☉江苏省白蒲高级中学 吴志勇

文1用“通性通法”解出了江苏卷2008年及2011年最后两道填空题，得出结论：“淡化特殊技巧，重视通性通法”应成为所有教师的共识.笔者很赞同这一观点，但对什么是“通性通法”却有不同意见.本文试通过对几题的几种解法进行比较，分析其所用解题思想方法，看看哪种解题的思想方法更具一般性，能称之为“通性通法”，并对如何进行解题教学提出建议.

（2008年江苏高考）设函数f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对于任意x∈［-1，1］，都有f（x）≥0成立，则实数a= _________.

文1中的解法是先求出f（x）在区间［-1，1］上的最小值，令其大于或等于0，从而求得a的值.如下所示.

f′（x）=3ax2-3.当a≤0时f′（x）≤0，所以f（x）min=f（1）= a-2.令a-2≥0，得a≥2，此种情况不成立.当a＞0时，f（x）的得a=4.

解题的思想方法分析：“一切从实际出发，实事求是”，这是辩证唯物主义认识论的基本原理.解数学题同样也要从“实际”出发，这个“实际”就是题意，解题时必先认真领悟题意，从中寻找解题方法.这可算是最基本的“通性通法”.“若对于任意x∈［-1，1］，都有f（x）≥0成立”，即把［-1，1］中的每一个值代入f（x）=ax3-3x+1（x∈R），都有f（x）≥0，这样就得到关于a的无数个一元一次不等式，这无数个不等式的解集的交集中的元素就是要求的a的值.一般情况下，此交集可能是空集，可能是一个区间，也可能是一个单元集.由结论可以得出此交集必是一个单元集.

直接求出无数个一元一次不等式的解集的交集是不可能的，这才有了变通的方法，那就是选取有代表性的点代入.这里最有代表性的点就是f（x）的最小值点，这就是文1所推崇的“通性通法”.这一方法学生从高一到高三不知经过了多少次练习，很多学生已经形成了思维定势，但高考中照样有很多学生解不出此题，并不像文1中所说的那样“使他们在考试中立于不败之地，更能为他们未来的发展奠定良好的基础”.

对于此题，如不先限制a的范围，要确定区间［-1，1］上的最小值点是比较麻烦的.事实上文1给出的解法中道理的.由此可见，过度练习“通性通法”，不了解方法的来源与实质，只能机械套用，一旦情形有所变化，学生则可能束手无策.如此题所用的“通性通法”中，如最小值点难以确定或不存在都有可能导致解题失败.

解决本题的思想方法，其实就是一个生活常识，实际生活中我们经常应用.举一个例子：警察抓罪犯.警察决不会漫无边际随意搜索，一般先根据各种线索确定罪犯所在的范围，然后在这个范围内再确定最有可能隐匿的地点，重点搜索.这种思想方法，在各领域、各学科，只要涉及“寻找”的问题，它都可以派上用场，应该是一个“通性通法”.而文1解决此题的方法与此相比则成了“特殊技巧”.用这种思想方法解决本题：要确定a的值，先“搜索”特殊点，以区间的端点代入，得到2≤a≤4，确定搜索范围，如还想进一步缩小“搜索范围”，再以区间的二等分点、四等分点代入也是很自然的做法.如果此题这样做很幸运就抓到“罪犯”了.这种很自然的方法，却是文1所鄙夷的“特殊技巧”.当然很多情况下，可能经几次重点“搜索”没能抓住“罪犯”，但这些工作并没有白费，而是进一步缩小了“搜索范围”.罪犯的藏匿点，就是函数f（x）的最小值点，闭区间上连续函数的最小值一定会在区间端点或极值点处取得，因此只要再“搜索”两个极值点即可，没有必要考虑函数的单调性，也没有必要具体确定哪一点是最小值点.

（2011年江苏高考）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________.

文1中解决此题用了两次转化，首先将a3，a4，a5，a6，a7转化为基本量a2和q，得：1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，再根据问题的指向性“求q的最小值”将这个较长的连续

第二步转化得到了一个不等式组，通过解不等式组来解决此问题，文1认为这是一个“通性通法”.虽然这样得出了正确结果，但第二步转化却是一个不等价转换.反之却不成立.第二步转化对q的限制条件放宽了，理论上讲q的取值范围可能扩大，因而这里得到正确结果纯属偶然，这其实是一个错解.如将1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3等价转换为不等式组，这个不等式组中包含6个不等式，难以求出q的取值范围，这也是很多考生没有解出此题的原因.

其实由1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，只要再用上一个常用的思想方法即可得出正确结果.因为1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，把这几个数在数轴上表示出来，从左到右依次为1、a2、q、a2+1、q2、a2+2、q3.要想q最小，这些点应尽量向左移动，因而有a2=1，q3=3，这样的思想方法与文1中所用的解不等式组的方法相比更具一般性，更应当认为是“通性通法”.

再来分析一下解决最值问题的思想方法.要求一个量的最值，此量必然是一个变量，要想得到它的最值，必须弄清楚它为什么变，找出变化的原因；如何变，找出变化的规律.变化规律可以由函数解析式给出，化为求函数的最值问题.如列一元函数解析式比较困难，也可列二元函数，此时一般还要找出两元之间的关系，用基本不等式解决.变化规律也可以由动点的轨迹给出.此题中由于AB恒定，△ABC的面积完全取决于点C的位置，搞清点C的轨迹，就可求出△ABC的面积的最值.轨迹法也是解决此类问题的常用方法.解决数学问题，不能只局限于某种“通性通法”，要深入思考每一个可能的解题方法，评判其繁简优劣，力求找到最简的解题方法.对于此题，用“轨迹法”应是较好的方法.

高考命题担负着为高校选拔人才的任务，这几道江苏高考题，引入生活中常用的解决问题的方法，很好地考查了学生灵活解决问题的能力.如果只考文1中所指的“通性通法”，学生平时经大量练习，已经形成了相应的技能，能选出合格人才吗？读了十几年书，连生活常识都不会用的人能称为人才吗？

文1认为中学生应该掌握的“通性通法”应是：“具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学基本方法.”笔者以为：“通性通法”强调的是一个“通”字，然而“通”总有一个通的范围，没有放之四海而皆准的方法.把解决某一模式的数学题的方法称为“通性通法”，教学中又过分强调这样的“通性通法”，使学生养成辨别模式、套用方法的习惯，这不利于思维能力的培养，无益于提高熟练运用知识和信息的能力，无益于探究创新氛围的营造，也不可能像文1所说的那样“使他们在解题时更有底气，使他们在考试中立于不败之地，更能为他们未来发展奠定良好基础”.

在数学教学中，不仅要让学生会使用“通性通法”，更要了解解题方法的来龙去脉，知道怎样做，更要理解为什么要这样做.只有这样，在情况发生变化时，才不会束手无策，而是能根据新的情况，找出解决问题的方法.其次我们不能仅停留在方法层面，更应挖掘方法背后的思想.方法只能解决特定类型的题目，而思想更具一般性，学习数学所获得的各种解决问题的思想可应用于以后所从事的各项工作中.

1曹军.“通性通法”应为解题的首选方法［J］.数学通报，2012（7）.

2张海强.2011年江苏省高考数学试卷分析与改进意见［J］.数学通报，2011（9）.A