基于船舶兴波能量守恒的形状因子算法

王文华，顾溟宇，王言英

（大连理工大学船舶工程学院，辽宁大连，116024）

基于船舶兴波能量守恒的形状因子算法

王文华，顾溟宇，王言英

（大连理工大学船舶工程学院，辽宁大连，116024）

为了拓展传统的根据船模阻力试验数据确定形状因子计算方法的适用测量速度范围，文章提出了基于船舶兴波能量守恒的形状因子计算方法。该算法以兴波阻力系数的理论近似表达式取代ITTC（1978）方法的兴波阻力系数近似表达式，采用梯度下降最优算法对船模阻力试验数据进行数值拟合计算求得形状因子。以4250 TEU集装箱船作为算例，将文中算法同传统的普鲁哈斯卡法和ITTC（1978）方法的计算结果进行了比较，验证了该算法的合理性和精确性。

船舶阻力；三因次换算；形状因子；兴波能量守恒；梯度下降最优算法；集装箱船

0 引言

在船舶设计初期，型线设计完成后大多数船舶都需要预报实船航速。目前，船模快速性试验仍然是预报实船航速方法中最为常用，也是最为可靠的方法。其中比较重要的一个环节就是船模阻力试验，其目的主要为研究船模在水中等速直线运动时所受到的作用力及其航行状态，从而获得船模的阻力随航速的变化关系，为预报实船性能提供必要的数据[1]。

目前，根据对阻力成分划分的不同，船模阻力试验的尺度效应换算方法可以分为二因次和三因次法两种[2-3]。三因次法又称为（1+k）法，关键问题是确定形状因子（1+k）。传统形状因子计算方法主要包括普鲁哈斯卡方法和ITTC（1978）方法。这两种方法分别将兴波阻力系数表示为正比于傅汝德数Fr的4次和n次方的形式[4-5]。在第26届ITTC会议最终给出的阻力报告中已经明确指出，采用这两种方法计算形状因子的船模试验点的傅汝德数应该介于0.1～0.2之间[6]。

然而，对于类似集装箱船的中高速运输船舶，其船模阻力试验服务航速范围已不再属于低速范围（傅汝德数通常都高于0.2）。如果通过普鲁哈斯卡或ITTC（1978）方法确定形状因子，需要额外进行傅汝德数在0.1～0.2范围内的低速试验，这无疑将会增加船模试验的成本。此外，船模低速试验较高速更为困难，易受各种因素的干扰，导致阻力波动和测量结果误差增大，这将会给船模阻力试验带来一定的难度。为此，寻求一种适用测量速度范围更广的形状因子计算方法是很有必要的。

本文从船舶兴波能量守恒角度出发，给出适用于任何航速情况下的兴波阻力系数的理论近似表达式，并且配合梯度下降最优算法对阻力试验数据进行拟合得到表达式中的参数，以此实现对传统形状因子计算方法的改进，提出了一种适用的测量速度范围更广的形状因子计算方法。最后，以一艘4250 TEU集装箱船作为算例，将传统普鲁哈斯卡法、ITTC（1978）方法及本文方法的形状因子计算结果进行了比较，验证了本文方法的合理性和精确性。

1 基于船舶兴波能量守恒的形状因子计算方法

在三因次船舶阻力尺度效应换算方法中，传统普鲁哈斯卡法和ITTC（1978）方法将兴波阻力系数表示为正比于傅汝德数Fr的4次方和n次方的形式，其总阻力系数分别为公式（1）和（2）。虽然这两种方法在低速条件下能够满足工程精度要求，但是在中高速情况下准确度却不够高。

其中：CT为总阻力系数、CF为摩擦阻力系数、1+k为形状因子，y和n为待定参数。

1.1 基于船舶兴波能量守恒的兴波阻力假定

船舶在水面航行时产生波浪，船体必须提供兴波的波能（即要克服兴波阻力做功），这就是从能量观点解释兴波阻力的由来[7]。

当船舶航行时，整个船波（首波和尾波系）随同船体一起前进。因此，整个船体波系的总能量包括船首横波中未受干扰部分、首尾波系中散波、和首尾横波干扰后合成波的能量之和：

其中：E是船体波系总能量，H1为船首横波的波高，H2为船尾横波的波高，H3为散波的波高，b为所选截面处的波宽，λ为波长，2πq为干扰横波的相位差，Kd和K为常系数。

从能量角度分析，船体波浪在一个波长内的总能量，等于兴波阻力在2倍波长的距离内所作的功（E=RW·2λ）。则有：

由于船波仅限在船后的扇形区内，波宽b与波长λ成正比。再根据公式可知波长λ与波速c（即船速v）的平方成正比，因此b∝v2。此外，由伯努利方程可知水面高度的变化与速度平方成比例，由此推想船行波波高H正比于船速v的平方项（H∝v2）。同时，考虑到兴波长度mL=（n+q）λ，得到船体兴波阻力系数的表达式：

参考ITTC（1978）方法对普鲁哈斯卡法的改进，并且引入λ∝v2的比例关系，最终可以得到兴波阻力系数的表达式：

式中：A，B，M和n为常系数，Fr为傅汝德数。

1.2 形状因子计算方法

在三因次船舶阻力换算方法中，总阻力系数CT可以表示为：

其中：Re为雷诺数、Fr为傅汝德数；CF为摩擦阻力系数、CPV为粘压阻力系数、CW是兴波阻力系数；1+k为仅与船体形状有关的形状因子。

根据1957-ITTC平板摩擦阻力系数公式，CF可以表示为：

然后，将公式（6）和（8）代入到（7）中，并且利用傅汝德数和雷诺数的定义将公式变为傅汝德数的函数形式，从而能够得到新的船舶总阻力系数表达式，

其中：k、A、B、M和n为待定参数。a为常数，通过下式计算：

式中：L为船长，v为流体运动粘度系数，g为重力加速度。然后，根据船模试验所得一系列散点（Fr，CT），采用公式（9）去拟合试验点，即可求得形状因子。

1.3 梯度下降的数值拟合算法

根据新的船舶总阻力系数表达式（9）和m组船模试验数据（Fr，CT）i（i=1，2，…，m），计算公式中5个待求未知参数k、A、B、M、n。

定义参数向量为ξ=［k，A，B，M，n］T，构造拟合误差函数E（ξ）：

使得E（ξ）取得最小值的参数向量ξopt的值，即为阻力系数表达式中的待定参数的取值。

因为上述优化对象为多元非线性函数，用常规最小二乘法无法求解，所以这里采用梯度下降法进行数值求解[8-9]。构造迭代方程：

其中：▽E（ξ）为拟合误差函数E（ξ）的梯度，h为迭代步长。

在梯度下降法中，采用的迭代收敛条件：

其中：α，β，γ为预先给定的阈值。当公式（21）同时满足时，迭代结束。

为了加快收敛速度，这里选用相对接近极值的ITTC（1978）方法的结果作为初值迭代计算形状因子，从而能够提高计算效率。

2 算例分析和方法验证

以4250 TEU集装箱船作为算例，通过与传统的普鲁哈斯卡法和ITTC（1978）方法进行比较，验证了本文新方法的合理性和精确性。4250 TEU集装箱船的主尺度如表1所示。

表1 4250 TEU集装箱船的主尺度Tab.1 Main dimensions of 4250 TEU Container Vessel

2.1 船模和实船试验数据

4250 TEU集装箱船的船模阻力试验结果见表2，该船模试验在德国汉堡水池进行，实船与模型的缩尺比为30.42。其中，VM代表航速、RTM为船舶阻力、CTM为总阻力系数。

表2 4250 TEU集装箱的船模阻力试验结果Tab.2 Resistance results of model test for 4250 TEU Container Vessel

续表2

此外，针对同系列4250 TEU集装箱船的20次实船航速试验结果，根据ISO 15016标准实船航速试验数据修正办法进行修正，得到实船在标准状态下的航速功率散点如图1所示。

图1 标准状态下实船的航速功率Fig.1 Speed power of 4250 TEU Container Vessel under standard state

结合4250 TEU集装箱船的船模阻力试验结果（如表2）和实船航速试验结果（如图1），利用1978-ITTC标准航速预报方法进行船模与实船相关分析。当功率相关因子为1时，通过分析可以得到最佳形状因子的值为1.157，即最优k的取值为0.157。

2.2 三种方法计算结果的比较分析

这里，根据表1中No 1～13共13组船模试验数据，分别采用普鲁哈斯卡法[7]、ITTC（1978）方法[4]和本文新方法计算得到形状因子和其他未知参数，如表3所示。

表3 不同方法的参数拟合结果Tab.3 Fitting parameter of three different methods

将通过三种方法所得到的模型总阻力系数的拟合曲线和船模总阻力系数试验数据绘制在图2中。从图中可以看出，与传统普鲁哈斯卡法和ITTC（1978）法相比，本文新方法拟合曲线更接近船模试验数据点。为了进一步说明三种方法对船模试验数据的拟合优度，下面将选用判定系数R2来进行讨论。

图2 船模总阻力系数计算结果Fig.2 Total coefficient of ship model versus various methods

判定系数R2作为度量拟合优度的重要统计量，反映的是拟合曲线对船模试验数据的拟合程度，其取值范围是［0，1］。R2的值越接近1，拟合程度越好；反之，则拟合程度越差。计算公式为

表4 不同方法的判定系数R2Tab.4 Coefficient of determination R2versus various methods

从图2和表4中可以看出，与传统普鲁哈斯卡法和ITTC（1978）法相比，通过本文方法计算所得曲线关于船模试验数据的上下波动最小，拟合程度最好。此外，本文新方法中的船舶兴波阻力表达式是基于船舶兴波能量守恒所进行的理论推导，因此本文方法能够更准确地描述船舶兴波阻力和总阻力的物理意义。

此外，将三种方法计算所得形状因子中的拟合参数k与通过实船航速试验结果推得的最优k进行比较，如表5所示。

表5 不同方法所得拟合参数k的比较Tab.5 Comparison of fitting parameter k versus different methods

从表5中可以看出，对于集装箱船服务航速范围的船模阻力试验数据，采用传统普鲁哈斯卡法和ITTC（1978）法计算所得参数k与实船试验推得的最优k值相比，误差已经超出工程精度所允许的范围。此外，k作为阻力换算的重要参数，反映了船舶所受粘压阻力与摩擦阻力的比值关系，因此，采用普鲁哈斯卡法和ITTC（1978）法进行中高速船舶的阻力计算和航速分析可能会产生较大误差。另一方面，采用本文新方法所得参数k非常接近最优k值。这说明从工程应用角度，本文新方法的计算结果能够更好地满足工程精度要求。

3 结论

本文从船舶兴波能量守恒角度出发，给出适用于任何航速情况下的兴波阻力和总阻力的理论近似公式。并且配合梯度下降最优算法对船模阻力试验数据进行数值拟合计算，求得表达式中参数，实现对传统三因次船舶阻力换算方法的改进，得出了一种适用测量速度范围更广的形状因子计算方法。

以4250 TEU集装箱船作为算例，通过与传统普鲁哈斯卡法和ITTC（1978）方法进行比较，验证了本文方法的精确性和合理性。此外，从解释物理现象和工程实际应用角度本文阐明了该方法的优越性，验证了该方法可在更广的测量速度范围内实现对船舶阻力和航速的计算。

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Calculation method of form factor based on energy conservation of ship wave-making

WANG Wen-hua,GU Ming-yu,WANG Yan-ying
(School of Naval Architecture,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

In order to expand the applicable measurement speed rang of the traditional method which is used to determine the form factor by the ship model test data,this paper presents a calculation method of form factor based on energy conservation of ship wave-making.In this method,from energy conservation of ship wave-making,the theoretical approximation formula of wave-making resistance can be obtained and replace the one used in ITTC(1978)method.New expression of total resistance coefficient can be achieved and used to determine the parameters by using gradient descent algorithm,and then form factor can be acquired.Finally,for a test case of 4250 TEU Container Vessel,by comparing with traditional Prohaska and ITTC(1978)methods,the feasibility and accuracy of proposed method were validated.

ship resistance;3-dimensional extrapolation of scale effect;form factor;energy conservation of wave-making;gradient descent algorithm;container ship

U661.31

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.05.001

1007-7294（2015）05-0477-07

2014-10-23

王文华（1981-），男，讲师，硕士生导师，Email：wangwenhua@dlut.edu.cn；

顾溟宇（1981-），男，博士研究生，Email：gu.mingyu@foxmail.com；

王言英（1938-），男，教授，博士生导师，Email：yygwang@dlut.edu.cn。