同轴度误差快速评定新算法

宋 起，单东日

SONG Qi, SHAN Dong-ri

（齐鲁工业大学 机械与汽车工程学院，济南 250353）

0 引言

一些文献对同轴度误差测量存在一定的认识误区，甚至提出了错误的同轴度评定算法，加大了测量结果的误差。原因在于对测量参考线、基准轴线、被测实际轴线的概念不明确，同时曲解了同轴度、圆度、径向圆跳动度之间的关系。

1 同轴度测量的标准方法

根据《中国人民共和国机械行业标准》中同轴度误差检测方法要求可知，检测同轴度误差，具体标准测量步骤如下：1）根据工件基准要素轮廓正截面的坐标，以最小二乘法、最小区域法等方法，拟合出多个垂直于测量参考线的正截面圆心坐标；2）根据拟合得到的多个圆心坐标，利用最小二乘法、最小包容圆法等拟合出一条空间轴线，此轴线为测量同轴度的基准轴线；3）测量被测实际要素各正截面轮廓坐标，利用最小二乘法、最小区域法等方法，得到圆心坐标；4）计算被测实际要素各轮廓正截面圆心与基准轴线的距离，最大距离的2倍为此工件的同轴度误差。

2 改进后的快速同轴度评定算法

2.1 垂直于测量参考线的基准要素轮廓正截面

同轴度测量过程中，测量参考线的选择很重要，如图1所示，Z轴为测量参考轴线，若此工件两端用顶尖固定，Z轴即为两顶尖之间的连线。测量过程中的基准要素轮廓正截面与被测要素轮廓正截面都与测量参考线垂直，所以， 同轴度的准确测量是建立在测量参考线正确选择的基础上。

图1 测量坐标系

2.2 数学模型的建立

2.2.1 最小二乘圆求截面圆心

假设（a,b）为某一垂直于测量参考线的轮廓正截面最小二乘圆心，R为最小二乘圆半径，（xi,yi）为此正截面的轮廓上各点坐标，其中n为被测点数，依据最小二乘法原理，应使分别对式中a,b,R求偏导，可以得到近似评定公式

2.2.2 最小二乘法求得基准要素轮廓正截面圆心坐标

评定图2中中间轴段C的同轴度误差，需得到垂直于测量参考线的基准要素轮廓正截面的坐标，轴段A,B上每个正截面轮廓收集n个点坐标（A,B阴影部分为正截面），共测量j个正截面。利用最小二乘法计算最小二乘圆心坐标，基准轴段上的第j个垂直于测量参考线的基准要素轮廓正截面圆心坐标为（Xoj,Yoj），共获得j个圆心坐标。

图2 垂直于测量参考线的正截面示意图

2.2.3 空间最小二乘法转化为二维平面求点法

在建立工件基准轴线时，需要利用多个基准要素上的正截面圆心，拟合一条空间直线作为基准轴线，空间最小二乘算法计算繁琐复杂，因此，此方法受到很大限制。

图2中，基准要素轮廓正截面与测量参考线OZ垂直，因此，用基准要素正截面圆心拟合的空间最小二乘轴线与OZ轴平行,对于空间最小二乘法拟合基准轴线,拟合规则是每一个提取点到理想直线的距离的平方和最小。图3中，基准要素轮廓8个正截面圆心投影到XOY面上，求取一个点Od(xd,yd)，使该点到各个圆心投影点的距离的平方和为最小，则点Od为空间最小二乘法拟合的基准轴线与XOY面的交点，以Od点为基准点，在XOY面上评价同轴度误差。

在XOY面上的离散的投影点集中，寻取一个点，使这个点至各投影点的平方和最小，可以利用MATLAB工具箱函数实现最优化方法。这个求解的数学模型为无约束多元函数最小值，可以在MATLAB中调用fminsearch函数求取。

图3 基准要素轮廓正截面圆心投影

2.2.4 同轴度误差计算

已知被测实际要素轮廓正截面坐标，测量j个正截面，每个截面测量n个点，第j个截面最小二乘圆心被测实际要素轮廓截面中心点Opj与基准轴线与XOY面的交点,即与基准点Od之间的最大距离的2倍为此工件的同轴度误差，此工件同轴度误差

3 实例分析

表1为某阶梯轴已经求得的轮廓正截面最小二乘圆心，1～4、13～16为阶梯轴基准要素上的垂直于测量参考线的正截面最小二乘圆心坐标，5～12为阶梯轴被测实际要素上的垂直于测量参考线的正截面最小二乘圆心坐标。

表1 某阶梯轴16段截面最小二乘圆心坐标

表2为某阶梯轴上垂直于测量参考线的多个正截面的最小二乘圆心，将基准要素正截面最小二乘圆心投影到XOY面上，利用MATLAB中的fminsearch函数求解得到Od(xd,yd)，这个点即为平行于测量参考线的基准轴线与XOY面的交点。

按照本文算法的思想，其数学模型为求解无约束多元函数最小值的问题，对数据进行仿真计算，调用MATLAB工具箱函数中的fminsearch函数，设x(1)=xd，x(2)=yd。X=fminsearch('(x(1)-1 6 7.0 3 3 6)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 7 6)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 8 2)^2+(x(1)-1 6 7.0 4 3 9)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 4)^2+(x(1)-1 6 7.0 4 0 4)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 9)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 9)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 0)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 7)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 2)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 3)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 2)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 3)^2+(x(2)-236.9974)^2+(x(2)-236.9971)^2',[0,0])。计算得到基准点Od（xd=167.0391，yd=236.9973），如图4中星号所示。

将被测实际要素上垂直于测量参考线的正截面最小二乘圆心（5～12）投影到XOY面上，图5中的圆圈为5～12的投影点，计算这些点与基准点的距离，找出最大距离，以基准点为圆心，最大距离为半径做圆，此圆的直径即为工件的同轴度误差，经计算，此工件的同轴度误差为0.0128mm。经对比，此算法满足求解同轴度的精度要求，算法快速简便且不失准确性。

图4 求解基准点

图5 同轴度误差评定

4 结束语

在同轴度测量中，运用最小二乘法进行空间基准轴线拟合时，其直线方程不能像在平面内的直线拟合一样表示为简单的线性比例形式，所以不能直接采用最小二乘算法。而运用进化算法在空间内拟合直线，计算繁琐，实用性不佳。文章中算法的基础为已经获得垂直于测量参考线的正截面坐标，然后经过两次投影，第一次投影求取由空间最小二乘法拟合的基准轴线与XOY面的交点，第二次投影计算出被测实际要素轮廓圆心投影点与基准点的距离，以此得到同轴度误差。从理论与实际证明了本算法的正确性与可靠性，文中提出的算法数学模型概念清楚、计算简单，易于实现，实现了快速又不失准确的评价同轴度误差，并为求解此类工程问题提供了新途径。

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