角接触球轴承动特性的数值与试验研究

朱川峰 杨丹峰 张振强 郭 浩

(洛阳轴研科技股份有限公司，河南 洛阳 471003)

随着现代科技与制造业的发展，对机床的生产效率及加工精度提出了更高的要求，机床行业日益向高速、高精度、高可靠性方向发展［1-4］。作为机床的关键部件，机床主轴单元的动力特性对机床的加工精度、切削稳定性及生产效率等具有重要的影响，而主轴轴承又是影响主轴单元动力特性最直接的部件。角接触球轴承因其高转速、高精度、高刚度、长寿命而且能同时承受轴向与径向载荷等特点在机床主轴上的应用越来越广泛，在主轴设计过程中对角接触球轴承的性能及其影响因素进行准确的分析是保证所设计机床的生产效率、加工精度及可靠性等性能的有力手段。

Jones 提出了套圈控制假设，建立了比较完整的滚动轴承拟静力学分析理论，并首先提出了滚动轴承刚度矩阵的概念，比较正确地反映了滚动轴承的刚度［5-8］。T.A.Harris 考虑了弹性流体动力润滑效应对钢球平衡的影响，进一步发展了球轴承的拟静力学分析模型［9］。李松生等人基于拟静力学模型对角接触球轴承的动态支承刚度进行了计算机模拟，并探讨了外部工况条件以及轴承内部的结构尺寸、球材料的物理性能等因素对角接触球轴承动态支承刚度的影响，但并未给出考虑相关因素影响的动态支承刚度的计算方法［10-11］。王保民等在考虑预紧力影响的条件下探讨了角接触球轴承动力学特性的计算方法，并分析了预紧力对动力学特性的影响［12］;袁卫、邱明等也讨论了计及预紧力的角接触球轴承的刚度计算方法，但未考虑过盈配合的影响［13-14］。张峻晖、单宝峰等人研究表明高速电主轴轴承与转轴配合的过盈量大小对主轴刚度有重要影响，但并未研究计及过盈配合量的轴承刚度计算方法［15-16］。

本文以弹性力学理论、滚动轴承动力学和沟道控制理论为基础，考虑安装时的过盈配合量和预紧力等因素，推导了角接触球轴承动刚度的完整计算方法并进行了试验验证，分析了轴承安装时的过盈配合量、预紧力和轴承载荷对动刚度的影响规律，为主轴-轴承转子动力学分析奠定了基础。

1 角接触球轴承动刚度分析

球轴承动刚度是指球轴承在交变载荷下抵抗动位移的能力。计算球轴承的动刚度首先需要对轴承内部载荷分布和钢球受力情况进行分析以求得各钢球的接触载荷，从而得到各钢球的接触刚度;再根据各钢球接触刚度的串并联关系即可计算得到球轴承的动刚度。角接触球轴承的过盈安装和预紧会使接触角发生变化，进而影响钢球的接触载荷和接触刚度，所以计算角接触球轴承动刚度时要考虑过盈配合量和预紧力的影响。

1.1 轴承内部载荷分布

角接触球轴承在承受轴向力Fa、径向力Fr和偏转力矩M 的作用时，产生相应的轴向位移δa、径向位移δr和角位移θ。固定轴承的外圈，则受载运转前后外圈沟道曲率中心Po及Po'的位置不变;Pi及Pi'为受载运转前后内圈沟道曲率中心初始位置及最终位置，o 及o'为受载运转前后钢球中心初始位置及最终位置，α 为角接触球轴承的初始接触角，αi与αo为球轴承受载运转后钢球与内外圈的接触角，如图1 所示。

根据赫兹接触理论，球轴承的钢球与内外圈的接触变形与接触载荷有如下关系［14-15］:

再根据图1 所示的几何变形关系可得:

1.2 钢球和轴承的受力分析

在角位置ψj处的钢球不仅承受内外圈的接触载荷，还承受离心力及陀螺力矩的作用，钢球的受力分析如图2 所示。

将钢球上的动态惯性载荷视作静态，可得x 方向及y 方向钢球的力平衡方程:

式中:Fcj为位置为ψj处钢球的离心力;Mgj为位置为ψj处钢球的陀螺力矩;λij、λoj为套圈沟道控制条件。

当角接触球轴承承受的轴向力Fa、径向力Fr及偏转力矩M 已知时，整个轴承载荷平衡，将所有的钢球的载荷向量叠加可得轴承的载荷平衡方程:

根据球轴承静力学模型的计算结果设定δα、δr、θ的初始值，对方程组(3～6)求解可得到的Qi、Qo、αi、αo，再代入方程组(7～9)求δα、δr、θ 的值。按照上述重复计算，直到δα、δr、θ 的值满足精度要求为止。

1.3 动刚度分析

根据前面分析，可求得钢球与内外圈的接触载荷及接触角，则第j 个钢球与内外圈的接触刚度可表示为:

第j 个钢球与内外圈的接触刚度的径向及轴向分量分别为:

根据轴承各个钢球接触刚度的轴向、径向分量的串并联的关系，可得轴承的轴向和径向动刚度:

1.4 预紧力对接触角的影响

轴承在仅有预紧力Fα0作用时，各钢球与套圈的接触角α、接触载荷Q 都相等，因此［14-15］:

式中:Z 为轴承钢球总数。

角接触球轴承在预紧力Fα0的作用，内外圈沿轴向产生轴向位移δα，接触角α0变为α，假设轴承外圈固定，内圈沟道曲率中心从Pi变为Pi'，如图3 所示。

由图3 的几何关系，可得:

式中:α0、α 为轴承承受预紧力前后的接触角;δ 为钢球接触法向总弹性趋近量

因为δ=(Q/K)2/3，再根据式(2)和式(3)可得接触角的非线性隐式函数［14-15］:

迭代求解式(4)可得到球轴承在预紧力作用下的接触角。

1.5 过盈配合对接触角的影响

在实际应用中，为了防止套圈在变载荷作用下绕轴或轴承座产生相对运动，必须依据载荷大小采用合适的过盈配合。内圈与轴、外圈与轴承座采用过盈配合时，内圈发生膨胀、外圈发生收缩分别使内圈沟底直径增大、外圈沟底直径减小。这时的接触角α 应按照如下公式计算［14-15］:

式中:μr为轴承径向游隙;δF为内圈沟底直径改变量;δE为外圈沟底直径改变量。

1.6 数值分析步骤

根据以上分析，角接触球轴承动特性的数值分析步骤如图4 所示。

2 数值分析

根据前述球轴承动特性的分析理论，编写MATLAB 数值分析程序，对机床主轴试验台支撑球轴承FAG-7206B-TVB 进行动特性的数值分析。

ROC曲线分析可用于选出最具临床价值的评估指标，当AUC面积为0.5～0.7时，提示该指标诊断价值较低，当AUC面积为0.7～0.9时，提示该指标具有一定诊断价值，而当AUC>0.9时，提示该指标临床价值较高。本研究进一步应用ROC曲线分析超声综合评分法对宫颈粘连患者分度评估，结果显示，超声综合评分法对轻度、中度、重度宫颈粘连患者分度的AUC均在0.7～0.9，进一步证实超声综合评分法在鉴别诊断宫颈粘连分度时具有一定的诊断价值。

图5、图6 考察了在预紧力Fα0=1 000 N、转速n=4 000 r/min 时过盈配合量对角接触球轴承刚度的影响。

由图5、6 可知:随着过盈配合量的增大轴向刚度减小，而径向刚度则增大，外圈过盈配合量对刚度影响尤为显著。

图7、图8 考察了在预紧力Fα0=1 000 N、转速n=20 000 r/min 时载荷对角接触球轴承刚度的影响。

发现轴承刚度在轴向载荷较小时出现明显的波动现象，初步分析认为是预紧力过小的原因。将预紧力增大为Fα0=2 000 N，转速n=20 000 r/min 不变，分析结果如图9、图10 所示。

增大预紧力后，刚度的波动现象消失，由此可见，预紧力对角接触球轴承刚度的稳定至关重要。

3 试验研究

3.1 机床主轴试验台

为验证上述分析理论的正确性，本文在机床主轴试验台上进行了试验验证。试验台如图11 所示。

试验台采用变频电动机驱动，同步带传动，利用液压加载系统动态调整预紧及载荷，可以测试多种滚动轴承的等效刚度和温度，也可以进行主轴系统的动力特性测试。本文以试验台的支承轴承FAG -7206B -TVB 为试验对象，测试了其在不同工况下的动刚度随载荷的变化情况。

3.2 试验结果及分析

在轴承预紧力Fα0=500 N、转速n=3 000 r/min的工况下，分别考察了轴向载荷Fα=2 000 N 时径向位移随径向载荷的变化情况和径向载荷Fr=4 000 N时轴向位移随轴向载荷的变化情况。测试结果如图12 和图13 所示。

对多次测试的位移信号滤波取其幅值的平均、经换算得到待测轴承的动刚度，如图14、15 所示。

由图14、15 可知:分别由数值分析与试验测试得到的动刚度变化趋势吻合，数值比较接近，证明本文的分析理论较为可靠。

4 结语

本文以弹性力学理论、滚动轴承动力学和沟道控制理论为基础，对角接触球轴承的动特性进行了数值分析和试验验证，得到以下结论:

(1)随着过盈量的增大，角接触球轴承的轴向刚减小，径向刚度则增大，其中外圈过盈配合量对刚度影响更为显著。

(2)预紧力过小时，角接触球轴承的刚度出现明显的波动现象;预紧力增大后，刚度波动现象消失，足够大的预紧力对刚度的稳定至关重要。

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