基于灰色马尔科夫链模型的交通事故预测

艾克热木·艾合买提，阿肯江·托呼提，王立晓

（新疆大学 建筑工程学院，新疆 乌鲁木齐830047）

道路交通系统是一个基于人、车、路的动态系统，影响交通安全的因素很多，作用机理复杂，因此道路交通事故的发生具有很大的随机性和偶然性。交通事故根据传统的回归预测法、时间序列法、BP神经网络法进行预测时，由于各模型均存在一定的局限性，因此预测结果往往出现较大偏差。回归预测法具有回归系数较难确定，所需样本量较大等缺陷；时间序列法由于考虑的因素较少，不能反映随机的外部环境影响，预测结果的准确性、实用性较差；BP神经网络预测法则需要输入较为全面的数据，而且收敛速度慢，程序复杂。

1 灰色马尔科夫链GM（1，1）模型

1.1 灰色GM（1，1）模型

灰色GM（1，1）模型首先通过对原始数据进行累加，建立均值生成序列和矩阵B与Y，然后通过最小二乘回归和微分等数学方法建立模型，最后通过模型得到的值经过还原数据，得到预测结果。它的建模过程为

1）根据模型在各个时刻的值，建立如式（1）所示的原始数据序列

2）对原始数据序列进行累加（作1－AGO），得

3）对1－AGO序列作均值，生成序列

4）利用式（1）与式（3），建立矩阵Y与B，得

5）对参数进行最小二乘估计，得出a与b的值

6）确定模型形式，并还原得到的灰色预测值，如式（6）、式（7）所示

1.2 马尔科夫链模型

马尔科夫链是根据所观察的离散状态，以经验为主的估计转移概率参数化的随机过程。它是对原始数据进行状态划分，求出转移概率矩阵，得出未来的预测值。以灰色马尔科夫链模型为例，其一般步骤如下:

1.2.1 状态划分

根据灰色模型预测值与实际值间的相对误差，把相对误差分成r类状态。状态划分数量并无严格规定，是综合考量样本数量、拟合的误差范围等相关因素而确定，一般分成3～5类比较合适。

1.2.2 建立状态转移概率矩阵

假设P（m）ij是状态i到j的m步转移概率，M（m）ij是状态i到状态j的m步转移次数，Mi属于i个状态的数量，状态转移概率矩阵如式（8）所示

1.2.3 计算预测值

假设时间序列在（k）时刻处于状态j，根据状态j的残差区间［ωj－，ωj＋］的中值，与灰色预测值（0）（k），可以得出灰色马尔科夫链模型的预测值为（k＋1），如式（9）所示

1.3 对模型精度的检验

灰色预测模型建立以后，对模型的实用性以及模型的精度进行验证。GM（1，1）模型通过计算残差、平均相对误差、均方差比值、小误差概率等指标后，查找灰色预测模型精度检验等级表（见表1），从而可以判断模型的精度等级。计算过程和算式如下:

1）分别计算出原始数据序列的残差ε（k），相对误差Δ（k）与平均相对误差

2）分别算出原始数据与残差的标准差S1，S2。根据S1，S2分别算出均方差比值C和小误差概率P

表1 灰色模型的精度检验表

2 案例分析

利用马尔科夫链对灰色GM（1，1）模型的预测误差进行修正，以乌鲁木齐市2007～2013年的伤亡人数为基础，对乌鲁木齐市2014～2016年的交通事故伤亡人数进行预测。

2.1 建立GM（1，1）预测模型

灰色GM（1，1）模型的建立过程如下:

1）原始数据序列为:x（0）＝｛1 047，1 068，872，902，876，846，895｝；

2）对数据进行累加得:x（0）＝｛1 047，2 115，2 987，3 889，4 765，5 611，6 506｝；

3）建立均值生成序列z（1）（k），z（1）（k）＝｛1 581，2 551，3 438，4 327，5 188，6 058.5｝，矩阵Y与B为

4）对参数进行最小二乘估计，得出a与b的值

5）将a和b的值带入式（6），得出模型如式（17）所示

根据式（17），并根据式（6）还原数据，得出乌鲁木齐市2007～2013年的伤亡人数灰色预测值，结果如表2所示。预测结果显示，模型的预测值是单调递减的，2008年和2009年的模型相对误差较大，分别为7.96%和－9.29%。最后可得到2014～2016年伤亡人数灰色预测值分别为813人、788人、763人。

表2 乌鲁木齐市交通事故实际伤亡人数与灰色模型预测值的对比

6）对GM（1，1）模型进行精度检验。利用式（10）～式（16）可以算出，平均相对误差为4.32%，后验差比值为61.34%，小误差概率为0.714 3。查找表1，可知该模型的精度为3级，说明可以用于交通事故预测，但精度较低，需要进一步优化来提高模型的精度。

2.2 建立马尔科夫链模型

2.2.1 状态划分

因为本研究样本数量较少，按照均值划分，误差可分为三个状态，分别用E1、E2、E3表示，如表3所示。

表3 死亡人数状态划分表

根据表3中的状态划分情况，可以把2007～2013年交通事故伤亡人数进行状态划分，结果如表4所示。

表4 乌鲁木齐市2007～2013年交通事故实际伤亡人数状态划分情况

2.2.2 构建转移概率矩阵

由式（8）计算出一步，两步，三步转移概率矩阵

2.2.3 计算预测值

利用式（9）对2007～2013年乌鲁木齐市伤亡人数进行拟合。例如2008年的灰色预测值为983，处于状态E3，＝983× ［1＋0.5× （2.21% ＋7.96%）］，可以得出2008年的灰色马尔科夫链预测值为1 033人。同理，可以得出其余年份的预测值，两种模型的残差和误差情况如表5所示。可知，2008年和2009年的灰色GM（1，1）预测值相对误差为7.96%和－9.29%，而灰色马尔科夫链GM（1，1）预测值和相对误差降到3.28%和－2.29%。从图1可知，灰色GM（1，1）模型的预测值呈一条平滑递减曲线，而灰色马尔科夫链GM（1，1）模型的预测值具有一定的波动性，接近伤亡人数的实际值，预测结果更加可靠。

根据表4可知，2013年伤亡人数预测值处于状态E3，初始行向量为V0＝（0，0，1）。因此，R（1）·V0＝（1，0，0），说明2014年处于状态E1，再利用式（9）预测出2014的伤亡人数为761人。同理，可以预测2015年、2016年伤亡人数年所处的状态及预测值，结果如表6所示。

表5 灰色GM（1，1）模型与灰色马尔科夫链GM（1，1）模型预测结果

图1 两种模型的预测结果对比

表6 GM（1，1）模型与灰色马尔科夫链预测模型对2014～2016年伤亡人数预测值

2.2.4 对灰色马尔科夫链 GM（1，1）模型进行精度检验

利用马尔科夫链对灰色模型进行误差修正后，平均相对误差（越小越好）从4.32%降到1.67%，降低了2.65%；后验差比（越小越好）从61.34%降到22.04%，降低了39.3%；小误差概率（越大越好）从0.714 3提高到1，提高了0.285 7。查找表1，可知该模型的精度变为一级（好），说明灰色马尔科夫链GM（1，1）模型的预测精度比单一的灰色 GM（1，1）模型高，因此，交通事故预测值更加可靠。

3 结 论

1）首先建立了灰色GM（1，1）模型，以乌鲁木齐市2007～2013年交通事故伤亡人数为基础，对2014～2016年乌鲁木齐市交通事故伤亡人数进行了预测。模型的预测精度较低，平均相对误差较高（4.32%），精度等级仅为三级，模型预测精度仍可提高。

2）利用马尔科夫链，建立灰色马尔科夫链模型，通过均值状态划分、建立状态转移概率矩阵，对灰色GM（1，1）模型的预测误差进行了修正，模型的预测精度有了明显提高，平均相对误差降到1.67%，降低了2.65%，模型的精度等级提高到了一级。说明灰色马尔科夫链模型比单一的灰色模型更加可靠，预测结果更接近实际。

3）通过对乌鲁木齐市未来交通事故伤亡人数的预测，可为今后乌鲁木齐市交通事故的预防提供有力的理论依据。

［1］ 王炜.道路交通工程系统分析方法［M］.北京:人民交通出版社，2008.

［2］ 董四辉、史卓屾.道路交通事故BP神经网络预测研究［J］.中国安全科学，2010（9）:15－20.

［3］ 邓聚龙.灰色系统基本方法［M］.武汉:华中理工大学出版社，1996.

［4］ 刘思峰.灰色系统理论及其应用［M］.7版.北京:科学出版社，2014.

［5］ 刘建齐.道路交通事故预测中的灰色预测GM（1，1）模型［J］.广西交通科技，2003（4）:106－109.

［6］ 李相勇.道路交通事故灰色马尔科夫预测模型［J］.中国安全科学学报，2008，18（3）:33－36.

［7］ 杨晓松，张双成.新陈代谢GM（1，1）模型在建筑物沉降监测中的应用［J］.交通科技与经济，2014，16（5）:100－102.