三维Minkowski空间中的平移曲面

袁 媛, 刘会立

(东北大学 理学院, 沈阳 110819)



三维Minkowski空间中的平移曲面

袁 媛, 刘会立

(东北大学 理学院, 沈阳 110819)

讨论三维Minkowski空间中的平移曲面。曲面的性质主要取决于高斯曲率和平均曲率,所以研究曲面的高斯曲率和平均曲率之间的关系,也就是曲面的Weingarten型有着重要的意义。在三维Minkowski空间中,存在类空、类时、和类光3种向量,选取这3种向量中的任意2种作为2个平移方向,可以将平移曲面分为6类。在伪正交标架下,选取一种新的度量形式,对沿类光和类空方向平移的平移Weingarten曲面进行了研究。首先,根据微分几何中的基本知识,得到了该种度量形式下的平移曲面的第1、第2基本形式以及高斯曲率和平均曲率;然后,主要利用高斯曲率和平均曲率之间的线性关系和平方关系,得到了这类平移曲面的分类定理。

Minkowski空间; 平移曲面; Weingarten曲面; 伪正交标架

0 预备知识

〈,〉=2dxdy+dz2

r(u,v)={x(u,v),y(u,v),z(u,v)}

曲面S的第1基本形式[1]Ⅰ定义为

Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2

E=〈ru,ru〉,F=〈ru,rv〉,G=〈rv,rv〉

Ⅱ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2

L=ε〈n,ruu〉,M=ε〈n,ruv〉,N=ε〈n,rvv〉

曲面S的高斯曲率[2]K和平均曲率[3]H分别为

定义[4-5]若曲面S的高斯曲率K和平均曲率H满足一个函数关系式,即

f(H,K)=0

则称曲面S为Weingarten型曲面,或Weingarten曲面。

r(u,v)=(u,v,f(u)+g(v))

1) 沿2个类空方向平移;

2) 沿2个类时方向平移;

3) 沿2个类光方向平移;

4) 沿类空和类时方向平移;

5) 沿类空和类光方向平移;

6) 沿类光和类时方向平移。

1 线性Weingarten型曲面

r(u,v)=(f(u)+g(v),u,v)

该曲面的高斯曲率和平均曲率分别为

证明 当K=C(常数)≠0时,即

整理得

式(1)对v求导得

f″g‴

由式(1)与式(2)消去f″得

即

此方程左边是关于v的函数,而右边是关于u的函数,则f′=m(m为常数),因此,f″=0。而由式(1)可知f″≠0,得到矛盾。

1) 平面;

2) 柱面;

3)f(u),g(v)满足

f(u)=c1e-Au+c2

其中A,b1,b2,c1,c2∈R。

证明 当H=0时,即

则2f′g″+f″=0。解这个方程[10],很容易得到定理3。

1)g(v)=m1v+m2

2)f(u)=n1u+n2

其中c1,c2,m1,m2,n1,n2∈R,且n1≠0。

证明 由H=C(常数),即

令ω=ε(2f′-g′2),上式整理得

式(3)对v求导,整理可得

式(3)和式(4)消去f″,再将ω代入得

f′2g‴2-18c2εf′g′2g″2+9c2g′4g″2ε=0,

这是关于f′的一个多项式,f′是关于u的函数,其系数只与v有关系．那么只能有2种情况:

1)g″=0,f′的各项系数都为零,所以f′任意。设g′=m1,则

解常微分方程得,

2)g″≠0,那么f′的各项系数不全为零,则f′只能为常数,并且由式(3)知f′不为零。

设f′=n1≠0,则f″=0,那么

解常微分方程得

类似的方法,可以得到:

1)g(v)=m1v+m2

2)f(u)=n1u+n2

其中c1,c2,m1,m2,n1,n2∈R,且n1≠0。

2 H2=K型曲面

证明 当H2=K时,即

由式(5)得

式(6)对v求导可得

式(6)和(7)消去f″,整理得

式(8)是一个关于f′的多项式。

1) 当g″≠0时,f′的各项系数不全为零,则f′≡c。

c=0时,式(5)自然成立,此平移曲面是柱面。

c≠0时,由式(5)知g″=0,矛盾。

2) 当g″=0时,则f′的各项系数为零,由式(5)知f″=0,这样平移曲面是平面。

3 结 语

本文主要研究了高斯曲率和平均曲率满足线性和平方关系的沿着类光和类空方向平移的平移曲面,给出了具体的分类定理。同样也可以用本文的方法研究类似的6类乘积曲面[7]。

[1]梅向明,黄敬之. 微分几何[M]. 北京:高等教育出版社, 1998:37-179.

[2]DO CARMO M. Differential geometry of curves and surfaces[M].New Jersey: Prentice-Hall, 1976:56-78.

[3]Kim Y H, Yoon D W. Ruled surfaces with finite type Gauss map in Minkowski spaces[J]. Soochow J Mathematics, 2000,26(1):85-96.

[4]DILLEN F, SODSIRI W. Ruled surfaces of Weingarten type in Minkowski 3-space:Ⅱ[J].J Geom, 2006,84(1/2):37-44.

[5]DILLEN F, SODSIRI W. Ruled surfaces of Weingarten type in Minkowski 3-space[J]. J Geom, 2005,83(1/2):10-21.

[6]LIU H L. Translation surfaces with constant mean curvature in 3-dimensional Spaces[J]. J Geom, 1999,64(1/2):141-149.

[7]MENG H H, LIU H L. Factorable suafcces in 3-Minkowski space[J]. Bull Korean Math Soc, 2009,46(1):155-169.

Translation surfaces in 3-D Minkowski space

YUANYuan,LIUHuili

(School of Science, Northeastern University, Shenyang 110004, China)

This paper considers translation surfaces in 3-D Minkowski space. The nature of surface mainly depends on Gaussian curvature and mean curvature, and therefore, it is of significance to investigate the relation between Gaussian curvature and mean curvature of surface, i.e., Weingarten surface. There are three kinds of vectors in the 3-D Minkowski space, i.e., space-like, time-like and light-like vectors among which choosing any two vectors as the directions of translation will divide the translation surfaces into six types. A new metric form is chosen to study the Weingarten translation surfaces which are translating in the lightlike direction and spacelike direction in a pseudo-orthogonal frame. Then, the first and second fundamental forms, Gaussian curvature and mean curvature of the surfaces are directly calculated according to the principles of differential geometry. It follows that some theorems of classification of those translation surfaces are given mainly by virtue of the linear and square relationships between the Gaussian curvature and the mean curvature.

Minkowski space; translation surface; Weingarten surface; pseudo-orthogonal frame

2014-07-28。

教育部基本科研业务青年教师科研启动基金资助项目(N130305005)。

袁 媛(1980-),女,辽宁鞍山人,东北大学讲师,博士。

1673-5862(2015)03-0396-04

O186.12

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.03.017