“顶吸基隔”结构非平稳随机地震反应分析新方法

马涌泉　邱洪兴

应分析新方法.通过在基础隔震结构的顶部布置调谐质量阻尼器来构建减震结构，分别采用BoucWen模型及其刚度退化模型模拟隔震层及各楼层的滞回特性.通过在精细积分法中引入复化Cotes积分，并结合虚拟激励法，提出了求解减震结构非平稳随机反应的CCIM法.依据首次超越破坏准则，建立了以结构层间位移角为评价指标的动力可靠度极限状态方程.通过分别采用CCIM、蒙特卡罗法和时域显式蒙特卡罗法对减震结构进行随机反应分析，验证了CCIM具有高效率和高精度的特点.以一座30层钢框架结构为算例，分别计算了减震结构、基础隔震结构和未控制结构在8度和9度罕遇地震作用下的随机反应.结果表明：本文提出的“顶吸基隔”减震结构的整体可靠度比基础隔震结构和未隔震结构的都要高，该减震结构具有极大的工程推广价值.

关键词：建筑物；抗震设计；地震反应；调谐质量阻尼器；精细积分法；动力可靠度

中图分类号：O328； TU352.1 文献标识码：A

随着中国城镇化建设步伐的加快，各地兴建了为数不少的高层建筑，如何提升它们的抗震性能，一直是学者们研究的重点.基础隔震作为一项有效的减震技术，在高层结构中正得到普遍应用，但其隔震层在震后会产生较大变形[1].虽然可以通过在隔震层中增设阻尼器或限位器来减小或限制其位移，但会引起主结构层间位移的增大[2].在基础隔震结构中引入调谐质量阻尼器（TMD）组成“TMD基础隔震”结构可以解决隔震层及主结构位移均较大的难题，本文将这种结构命名为“顶吸基隔”减震结构（简称减震结构）.学者们对该结构的减震效果进行过一些研究[3-4]，但这些研究均是输入确定的地震动来求解结构反应，由于地震动具有随机性，因此这些研究成果缺乏参考价值；目前学者们仅开展了基础隔震结构随机反应的求解工作[5-6].然而他们所采用的精细积分法在计算过程中会存在矩阵求逆的问题，不仅计算量大，而且稳定性也较差，甚至会出现逆矩阵不存在的情况.因此探寻减震结构非平稳随机反应的高效率和高精度的求解方法就显得尤为重要.

本文采用BoucWen模型及其刚度退化模型描述隔震层及楼层的滞回特性，利用精细积分法和虚拟激励法推导出复化Cotes精细积分法（CCIM），并验证了其精度和效率.使用CCIM分别对一座30层减震、基础隔震和未隔震结构进行非平稳随机反应与动力可靠度分析，得出的结论可供类似结构减震设计时参考.

经过精细计算以后，可以使得其值非常接近精确值，但是其积分项解析形式的精度仍不能保证.文献[10]将精细积分法引入随机地震反应分析，提出了时域显式蒙特卡罗法（PTIM），它假定地震激励在（tl，tl+1）内线性变化，但当地震激励具有强非线性时这种算法会带来较大误差，如果通过减小时间步长Δt来提高计算精度，势必会增加计算量.文献[11]在结构随机反应分析中引入了Simpson积分，虽然提高了结构反应的精度，但由于该积分方法的固有缺陷，只能达到三次代数精度.为了解决上述问题，本文引入复化Cotes积分理论来求解结构随机反应一般解的积分项，提出了一套基于复化Cotes理论的精细积分法，并将其命名为CCIM.该方法既能良好地处理非线性地震激励，又能获得比Simpson积分更高的精度，并且对Δt也不敏感CCIM的建立过程如下：将复化Cotes积分引入式（30），积分区间分点为

上式即为求解结构反应的显式表达式.结合一阶矩和二阶矩的运算特点，可得Z（tl）的期望及方差分别为：

式（40）中的协方差矩阵可由随机地震激励的相关函数构成，相关系数可由式（18）求得.

相邻时刻的系数矩阵存在以下递推关系：

综上所述，按照式（38）构造出该时刻的ρl和Yl便可求得tl时刻的结构反应Z（tl）；如果求解（tl，tl+1）时间段内的Z（tl），只需结合式（41）便可较快地获得各时刻点的系数矩阵.

上述CCIM法的推导虽然是以剪切型结构为例，但是此算法是以精细积分法和复化Cotes积分理论为基本框架，因此它对结构的动力特性矩阵没有任何特殊要求，故此算法完全适用于求解弯剪型或弯曲型结构的非平稳随机地震反应.

2.3结构层间位移角可靠度分析

由CCIM得到隔震层和各楼层的位移方差σ2x和速度方差σ2，便可求得其层间位移角方差σ2θ，从而依据首次超越破坏准则，求得其层间位移角的动力可靠度.对于给定的层间位移角限值θb，隔震层和各楼层的层间位移角θ（t）在时间Λ内超越限值θb的次数的期望可表示为：

3CCIM精度与效率的验证

为了验证CCIM的计算精度及效率，本文选用一座10层钢框架结构为算例.该算例位于Ⅱ类场地，抗震设防烈度为8度，设计基本地震加速度值为0.30g，处于设计地震第1组.首先对其进行8度罕遇地震作用下的基础隔震设计，获得隔震层的各项最优参数；然后对基础隔震结构进行模态分析获得其前10阶自振频率，以此获得TMD系统的各项最优参数（保证TMD系统的前10阶自振频率与基础隔震结构的分别相等或十分接近）；最后对减震结构进行模态分析，提取其前三阶阻尼比，并取它们的平均值作为该结构的阻尼比.分别运用蒙特卡罗法[12]（MC）、CCIM和PTIM对减震结构进行8度罕遇地震作用下的非平稳随机地震反应分析.

定义8和9度罕遇地震下的减震结构分别为工况Ⅰ和Ⅱ，8和9度罕遇地震下的基础隔震结构分别为Ⅲ和Ⅳ，8和9度罕遇地震下的未隔震结构分别为Ⅴ和Ⅵ.采用CCIM分别对6种工况进行非平稳随机分析，得到顶层位移、第6层层间位移角及顶层加速度等方差时程如图3所示.得到隔震层和各楼层的位移、层间位移角及加速度等方差峰值及层间位移角可靠度如图4～图5所示.

4.2结果分析

由图3可知，在整个时程内，减震结构的位移方差、层间位移角方差和加速度方差比基础隔震和未隔震结构的方差都要小.6种工况的反应方差均能在较短的时间内收敛到一个稳定的解，说明本文提出的CCIM具有良好的稳定性，此方法可用于评估高层或多层结构在非平稳随机地震作用下的抗震性能.

由图4可知，减震结构的隔震层和各楼层位移方差峰值、层间位移角方差峰值和加速度方差峰值均比基础隔震和未隔震结构（无隔震层）的要小；6种工况的上述三项值在第6层处均存在不同程度的转折，其中减震结构的转折程度最不明显.这是由于原结构的第6层刚度有突变，形成了薄弱层.可见，通过在基础隔震结构顶部布置TMD而形成的减震结构可以有效解决隔震层及主结构在震后出现过大位移的难题.

由图5可知，减震结构无论是在8度还是9度罕遇地震下，其隔震层和各楼层的层间位移角可靠度均为100%；8度和9度罕遇地震下的基础隔震结构其隔震层和各楼层的层间位移角可靠度也均较高，根据式（46）算得其整体可靠度分别为95.53%和91.76%，但第6层处的可靠度有一定的降低，可见结构刚度的突变对基础隔震结构的层间位移角可靠度有一定的影响；8度和9度罕遇地震下的未隔震结构其各楼层的层间位移角可靠度很低，在第6层处达到了最低，根据式（45）算得其整体可靠度分别为58.82%和46.91%，因此在9度罕遇地震下，未隔震结构的大多数层间位移角已超过了弹性层间位移角限值.可见在罕遇地震作用下，减震结构的整体可靠度比基础隔震和未隔震结构的都要高得多.

5结论

1） 本文提出的CCIM其计算精度和计算效率要比PTIM的都要高，其计算结果逼近MC的结果，而CCIM所需的计算时间却比MC的要少得多；CCIM能使结构反应方差在较短时间内收敛到稳定解.可见，本文提出的CCIM兼备高效率和高精度的特点，可望有极佳的工程应用前景.

2） 减震结构的楼层及隔震层位移、层间位移角和加速度方差比基础隔震结构的都要小，前者的整体可靠度比基础隔震和未隔震结构的都要高；薄弱层的存在对减震结构的整体可靠度几乎没有影响.可见，本文提出的“顶吸基隔”减震结构具有卓越的抗震性能，可望有良好的工程推广价值.

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